Si la probabilidad es uniformemente distribuida, ¿cuál es la distribución de proporción?

Question

Supongamos que $\pi=\frac{\theta}{1-\theta}$ donde θ está entre $[0,1]$.

Si establecemos un prior uniforme para $\pi$ ($p(\pi) \propto 1$), ¿cuál es el prior inducido en $\theta= \frac{\pi}{1+\pi}$? ¿Es este prior adecuado?

Estoy atascado en este problema. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Si $\pi$ está uniformemente distribuido sobre $(0,a)$ entonces $\theta\in\left(0,\frac{a}{1+a}\right)$. Entonces para $0 $$ F_\theta(x)=\mathbb P(\theta\leq x)=\mathbb P\left(\frac{\pi}{1+\pi}\leq x\right) = \mathbb P\left(\pi\leq \frac{x}{1-x}\right)=F_\pi\left(\frac{x}{1-x}\right)=\frac{x}{a(1-x)}. $$ Y la pdf de $\theta$ debería ser $f_\theta(x)=\frac{1}{a(1-x)^2}\mathbb 1_{\left(0,\frac{a}{1+a}\right)}$.

Nota que $\left(0,\frac{a}{1+a}\right)\subset (0,1)$. Por ejemplo, para $a=1$, $\left(0,\frac{a}{1+a}\right)=\left(0,\frac12\right)$.

No puedes obtener $\theta$ con pdf positiva sobre todo $(0,1)$ si $\pi$ está uniformemente distribuido ya que no puede haber una distribución uniforme sobre una semirrecta positiva.