$x=x^2$ en un subgrupo?

Question

Tengo un conjunto E definido en X ( E=X ) y la operación * definido así

(a,b)*(c,d)=(a+c,b+d+2ac)

(a,b),(c,d) son elementos de E Quiero

• demostrar que (E,*) es un Grupo .
• demostrar que el conjunto H definido así H={(x,x), x } es un Subgrupo de (E,*) .

• definimos la función f así :

     f: (, + ) (H, * )                    
         x      f(x)=(x,x²)

  demostrar que f es un homomorfismo de grupo.

-Para demostrar que E es Grupo, debo demostrar su Cierre eso es malo Para todos (a, b), (c,d) en E el resultado de la operación, (a,b) * (c,d) también está en E (verificado).

Asociatividad Para todos (a,b), (c,d) y (e,f) en E

 ((a,b) * (c,d)) * (e,f) = (a,b) * ((c,d) * (e,f)).

y eso es malo :

((a,b)*(c,d))*(e,f)=(a+c,b+d+2ac)*(e,f)=(a+c+e,b+d+2ac + f + 2(a+c)e) 
==
(a,b)*((c,d)*(e,f))=(a,b)*(c+e,d+f+2ce)=(a+c+e,b + d+f+2ce + 2(c+e)a)

(verificado)

Elemento de identidad Existe un elemento (e1,e2) en E , tal que para cada elemento (a,b) en E la ecuación (e1,e2) * (a,b) = (a,b) * (e1,e2) = (a,b) sostiene. si desarrollamos obtenemos :

{a+e1==a     => e1=0
{b+e2+2ae1=b    =>e2=0 (using e1=0)

así que (e1,e2)=(0,0)

Elemento inverso: dejar (a1,b1) sea el elemento inverso de (a,b)

(a1,b1)*(a,b)=(a,b)*(a1,b1)=(0,0)
{ a1+a=0 =>a1=-a
{ b1+b+2a1a=0 =>b1=2a²-b

por lo que el elemento inverso de (a,b) is (-a,2a²-b)

El problema

ahora el problema ocurrió cuando traté de probar que (H, * ) es un subgrupo de (E, * ) porque para ello hay que demostrar que cualquier elemento (a,a) en H su elemento inverso (a',a') también debe estar en H pero como se puede ver que el elemento inverso de (a,a) es (-a, 2a²-a) que claramente no es un elemento de H ?

Y si echas un vistazo a la pregunta 3 puedes ver que f(x)=(x,x²) se supone que es un elemento de H ( f va de E H )! y eso significa que x²=x ¡¡!!

Excluyo la posibilidad de que la pregunta en sí misma sea incorrecta, ¿me estoy perdiendo algo aquí? Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

El conjunto $H=\{(x,x)\}$ no está cerrado bajo la operación de grupo: $(s,s)*(t,t)=(s+t,2st+s+t).$ Sin embargo, si reiniciamos $H$ para ser los pares $(x,x^2)$ está cerrado, es decir, con este reinicio la operación de grupo da $(s,s^2)*(t,t^2)=(s+t,(s+t)^2).$ Así que si se trabaja con esta otra definición de $H$ es probable que también puedas encontrar los inversos.

Nótese que a partir de la tercera parte de la pregunta, sobre un homomorfismo de $R$ a $H$ dado por $f(x)=(x,x^2)$ parece que el montaje de la pregunta era para el $H$ para que se componga de pares $(x,x^2)$ .

Answer 2

Esto sólo se refiere a la cuestión de demostrar que sus fórmulas le dan un grupo. Es muy posible que aún no tengas la base para conseguirlo por ti mismo, pero representa una ruta mucho más rápida para llegar al resultado deseado.

Me sorprendería mucho que esta estructura de grupo propuesta no pudiera representarse en forma de matrices. De hecho, tras un pequeño experimento, vi que se podía representar $(a,b)$ como la matriz $$ \pmatrix{1&a&b\\0&1&2a\\0&0&1}\,. $$ Multiplicas dos, $$ \pmatrix{1&a&b\\0&1&2a\\0&0&1}\pmatrix{1&c&d\\0&1&2c\\0&0&1} = \pmatrix{1&a+c&b+d+2ac\\0&1&2(a+c)\\0&0&1}\; $$ justo lo que querías que fuera. Finalmente, se calcula la inversa de la matriz con $a$ y $b$ en la primera fila, y encontrar que es de la forma correcta, y sus entradas de la primera fila son $-a$ y $-b+2a^2$ . Tiene un grupo porque sus matrices especiales forman un subgrupo del grupo de matrices de determinante $1$ Hecho.