Dejemos que $X \sim \text{Normal}(\mu, \sigma^2)$ . Definir $Y = \frac{e^X -1}{e^X+1}$ . La transformación inversa es $X = \text{logit}\left(\frac{1+Y}{2}\right) = \log\left(\frac{1+Y}{1-Y} \right)$ . Por el teorema de la transformación $$ f_Y(y) = f_X\left[ \log\left(\frac{1+y}{1-y}\right) \right]\times\frac{2}{(1-y)(1+y)}. $$ ¿Tiene esta distribución un nombre que pueda buscar? Tengo que evaluar esta densidad con bastante frecuencia cuando utilizo el paseo aleatorio Metropolis-Hastings y muestro para los parámetros $-1 < Y < 1$ (por ejemplo, parámetros de correlación, parámetros AR(1), etc.) transformándolos en $X$ primero, y luego añadirles ruido gaussiano.
Respuesta
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Gracias al comentario de @whuber, sabemos si $X \sim \text{Normal}(\mu, \sigma^2)$ entonces $Z = e^x/(1+e^x)$ sigue un $\text{Logit-Normal}(\mu, \sigma)$ y tiene una densidad $$ f_Z(z) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\frac{1}{z(1-z)}\exp\left[-\frac{(\text{logit}(z) - \mu)^2}{2\sigma^2}\right]. $$
Entonces $Y = \frac{e^X -1}{e^X+1} = 2\left(\frac{e^X}{1+e^X}\right)-1 = 2Z-1$ es sólo un logit-normal escalado y desplazado variable aleatoria con densidad \begin{align*} f_Y(y) &= f_Z\left(\frac{y+1}{2}\right)\times \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\frac{2}{(1+y)(1-y)}\exp\left[-\frac{\left\{\log\left(\frac{1+y}{1-y}\right) - \mu\right\}^2}{2\sigma^2}\right]\\ &= f_X\left[ \log\left(\frac{1+y}{1-y}\right) \right]\times\frac{2}{(1-y)(1+y)}. \end{align*} No forma parte de la misma familia, pero aún así es bueno saberlo.
