Es el conjunto de matrices $X \in M_{n\times n}$ Satisfaciendo a $AX + XA^T = -L$ para un determinado pero arbitrario $A,L \in M_{n\times n}$ ¿un subespacio?

Question

Es el conjunto de matrices $X \in M_{n\times n}$ Satisfaciendo a $AX + XA^T = -L$ para un determinado pero arbitrario $A,L \in M_{n\times n}$ un subespacio según las definiciones habituales de suma de matrices y multiplicación escalar?

Aparentemente no es... Para $X_1, X_2\in M_{n\times n}$ y $c \in R$ está claramente cerrado por adición y multiplicación debido a las operaciones matriciales. El vector cero no es evidente ya que si $X=[0]$ Esto tendría que hacer $L=0$ que puede no ser el caso. ¿Es eso suficiente justificación?

Answer 1

Tienes razón. Es un subespacio sólo si $L=0$ . Supongamos que $X_1$ y $X_2$ pertenecen al conjunto. Entonces $AX_1+X_1A^T=-L$ y $AX_2+X_2A^T=-L$ y se deduce que $A(X_1+X_2)+(X_1+X_2)A^T=-2L$ pero $-2L=-L$ sólo si $L=0$ . En general, las relaciones lineales no homogéneas no conducen a subespacios (vectoriales).