Los números primos p para los cuales p - 1 tiene un gran factor principal

Question

¿Cuáles son los más conocidos los resultados de la densidad y la conjetura de los números primos p , donde p - 1 tiene un gran factor primo p, donde por "grande", me refiero a algo mayor que $\sqrt{p}$.

El caso más extremo es el de un seguro prime (entrada de la Wikipedia), que es un primo p tal que $(p - 1)/2$ es también una prima (el más pequeño prime se llama Sophie Germain prime). Yo creo que se cree (y no lo han demostrado) que infinitamente muchos seguros de los números primos existen, y que la densidad es aproximadamente el $c/\log^2 n$ para algunas constantes $c$ (como debe ser a partir de un modelo probabilístico).

Para los más generales de configuración, donde estamos interesados en la densidad de los números primos p para los cuales p - 1 tiene un gran primer factor, el único enfoque general soy consciente de que es el primer número teorema de progresiones aritméticas, y algunos de sus refuerzos, tales como la Bombieri-Vinogradov teorema (condicional a la GRH), el (todavía abierto) Elliott-Halberstam conjetura, Chowla de la conjetura en la primera de Dirichlet prime, y algunos resultados parciales relacionados a esta conjetura. Todos estos lidiar con la existencia de los números primos $p \equiv a \pmod q$ arbitrarias q arbitraria y una que es coprime a q.

Mi pregunta: ¿podemos esperar cualitativamente mejores resultados para la situación en la que p es primo y $a = 1$? También, no estoy interesado en la especificación de la q de antemano, de modo que la existencia de un p tal que no existe ningún primos grandes p dividiendo $p - 1$ sería genial. Las referencias existentes conjeturas, condicional resultados, incondicional y de los resultados sería muy apreciada.

Answer 1

Ver "En el número de números primos p para los cuales p+a tiene un gran factor principal." (Goldfeld, Mathematika 16 De 1969 23--27.) El uso de Bombieri-Vinogradov él demuestra, por un determinado número entero a, que

$\sum_{p \leq x} \sum_{ x^{1/2}< q \leq x : q | p+a} ln(q) = x/2 + O(x ln ln x / ln(x))$

donde la suma es sobre p y q primos. Tenga en cuenta que esto implica que el número de números primos $p$ menos de $x$ tal que $p-1$ tiene un factor primo mayor que $p^{1/2}$ es asintóticamente al menos x/ 2ln(x).

Answer 2

Creo que el tamiz de los métodos (en particular de métodos similares a Chen resultado en "casi" Goldbach y dos números primos) debe dar infinitamente primos $p$ tales $(p-1)/2$ es un producto de dos números primos. Eso es más de lo que usted pidió.

Wikipedia cita un resultado de Bombieri-Friedlander-Iwaniec indica que Linnik es constante, es $2$ para casi todos los módulos. Si lo mismo es cierto para una infinidad de primer módulos de $q$, entonces usted está en el negocio. Un primer $p \equiv 1 \mod q, p \ll q^2$ es lo que quieres.

Tal vez una analítica de números teórico va a venir y dar referencias precisas.

Wikipedia - Tamiz Métodos

Wikipedia - Linnik del Teorema de

Answer 3

Juan A. Gordon introdujo la noción de fuerte de los números primos (tratar de Wikipedia) que, junto a otros requisitos, son primos $p$ satisfacción $p \equiv 1 \mod r$ para algunos de los grandes prime $r$ de aproximadamente el mismo tamaño como $p$. En el siguiente artículo, se ha demostrado cómo construir el fuerte de los números primos de arbitrario de bits de tamaño de manera eficiente y con alta probabilidad de:

• Juan A. Gordon: "Fuerte de los números Primos Son Fáciles de Encontrar", Actas de EUROCRYPT '84, LNCS 209, Springer, 1985.

Answer 4

Fouvry mostró que la densidad relativa es positivo de los números primos $p$ para que el mayor factor principal de $p+a$$\ge p^{\alpha}$$\alpha \approx .6687$.

Etienne Fouvry, Th eoreme de Brun-Titchmarsh; application au th ́eoreme de Fermat, de Inventar. Matemáticas 79 (1985), 383-407. MR0778134 (86 g:11052)