Indexación de polinomios multidimensionales simples

Question

Supongamos que tenemos unos polinomios multidimensionales indexados por las potencias de los argumentos: $$P_{(i_1, i_2, \dots, i_n)}(x_1, \dots, x_n) = x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}$$ Me gustaría encontrar una forma de indexar estos polinomios utilizando un único número entero de forma que no haya repeticiones y que empecemos por los polinomios de menor grado. Así que busco una función $I:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^N$ tal que:

• $P_{I(k_1)} \neq P_{I(k_2)}$ para $k_1 \neq k_2$
• $\sum I(k_1) \leq \sum I(k_2)$ para $k_1 \leq k_2$
• Todo polinomio simple está indexado

La definición de $I$ puede ser recursivo si es más fácil.

Answer 1

Si entiendo lo que buscas, básicamente querías un orden lexicográfico graduado o un orden lexicográfico inverso graduado. (Cualquier orden total graduado funcionará, pero estos dos son probablemente los más fáciles de implementar).

Por ejemplo, si $k = 3$ , podrías tomar $1 < x_1 < x_2 < x_3 < x_1^2 < x_1 x_2 < x_1 x_3 < x_2^2 < x_2 x_3 < x_3^2 < x_1^3 < \dots$ . Así que tendrías $I(1) = (0,0,0), I(2) = (1,0,0), I(5) = (2,0,0), I(7) = (1,0,1), I(10) = (0,0,1)$ etc.

Normalmente, en las aplicaciones, el orden total es más útil que la función $I$ . Es decir, es más fácil comparar cuál de los dos monomios es mayor directamente en lugar de intentar determinar y luego comparar los números naturales correspondientes en la preimagen de $I$ .