A) la representación "compacta"
Lo mismo que se hace al representar un número en base $10$ o $2$ etc. puede hacer para representarlo en la base "factorial" $1,2, 6, \cdots, n!$ : consulte este Artículo de Wikipedia .
Sólo que, en lugar de tener una relación fija entre los términos de la base (por ejemplo $10$ en el decimal) tendrá una proporción variable $= n$ pero eso no afecta sustancialmente al algoritmo.
Tomemos por ejemplo $31=3 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0= 10^1+10^1+10^1+10^0$ .
$4! \le 31 < 5!$ por lo que en la base factorial tendremos $$ \eqalign{ & 31 = \left\lfloor {{{31} \over {4!}}} \right\rfloor 4! + 31\bmod 4! = 1 \cdot 4! + 7 \cr & 7 = \left\lfloor {{7 \over {3!}}} \right\rfloor 3! + 7\bmod 3! = 1 \cdot 3! + 1 \cr & 1 = \left\lfloor {{1 \over {2!}}} \right\rfloor 2! + 1\bmod 2! = 0 \cdot 2! + 1 \cr & 1 = \left\lfloor {{1 \over {1!}}} \right\rfloor 1! + 1\bmod 1! = 1 \cdot 1! + 0 \cr & \quad \Downarrow \cr & 31 = 4! + 3! + 1! \cr} $$
b) cuántas representaciones
Entendiendo que se pregunta de cuántas maneras podemos representar $x$ como una combinación lineal de factoriales $$ x = t_2 2! + t_3 3! + \cdots + t_n n! $$ que es el número de $n$ -suplos $(t_2 , t_3 , \cdots , t_n)$ podemos encontrar de forma que se cumpla la identidad anterior, dado que $n$ es el máximo para el cual $n! \le x$ .
Partiendo de la representación "compacta" $$ x = c_2 2! + c_3 3! + \cdots + c_n n! $$ puede decidir no rebajar ninguno, o uno, o dos, .., o todos los $c_n$ términos en $n!$ hasta $n \cdot (n-1)!$ .
Las opciones que tienes son $$ \sum\limits_{0\, \le \,k_{\,n} \, \le \,c_{\,n} } {1 } = c_{n } + 1 $$
Eso hará que $c_{n-1}$ para convertirse en $c_{n-1},\;c_{n-1}+n,\;c_{n-1}+2n,\;\cdots,c_{n-1}+c_{n}n,\;$ .
Luego, a su vez, para cada uno de los $c_{n-1}+k_{n} n$ puedes decidir no rebajar ninguno, o uno, o dos.. Ahora, el total de opciones se convierte en $$ \eqalign{ & \sum\limits_{0\, \le \,k_{\,n} \, \le \,c_{\,n} } {\sum\limits_{0\, \le \,k_{\,n - 1} \, \le \,c_{\,n - 1} + k_{\,n} n} 1 } = \sum\limits_{0\, \le \,k_{\,n} \, \le \,c_{\,n} } {\,c_{\,n - 1} + 1 + k_{\,n} n} = \cr & = \left( {c_{\,n - 1} + 1} \right)\left( {c_n + 1} \right) + \left( \matrix{ c_n + 1 \cr 2 \cr} \right)n \cr} $$
En el siguiente paso tendremos $$ \eqalign{ & \sum\limits_{0\, \le \,k_{\,n} \, \le \,c_{\,n} } {\sum\limits_{0\, \le \,k_{\,n - 1} \, \le \,c_{\,n - 1} + k_{\,n} n} {\sum\limits_{0\, \le \,k_{\,n - 2} \, \le \,c_{\,n - 2} + k_{\,n - 1} \left( {n - 1} \right)} 1 } } = \cr & = \sum\limits_{0\, \le \,k_{\,n} \, \le \,c_{\,n} } {\sum\limits_{0\, \le \,k_{\,n - 1} \, \le \,c_{\,n - 1} + k_{\,n} n} {c_{\,n - 2} + 1 + k_{\,n - 1} \left( {n - 1} \right)} } = \cr & = \sum\limits_{0\, \le \,k_{\,n} \, \le \,c_{\,n} } {\left( {c_{\,n - 2} + 1} \right)\left( \matrix{ c_{\,n - 1} + k_{\,n} n + 1 \cr 1 \cr} \right) + \left( {n - 1} \right)\left( \matrix{ c_{\,n - 1} + k_{\,n} n + 1 \cr 2 \cr} \right)} \cr} $$ que no parece que pueda llevar a una forma cerrada.
