$\{a,b,c\}$ son $3$ eventos estándar normalmente distribuidos. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos $a>b$ y $b>c$ ?

Question

Creo que es un tercero, pero no puedo intuir los pasos que daré para llegar a él.

Me imagino $P(a>b) = 1/2$ y entonces debemos encontrar $P(b>c|a>b)$ . Aquí no veo el truco, pensé que primero podríamos usar:

$P(b>c|a>b) = P(a>b)|b>c) \cdot (P(b>c)/P(a>b))$ pero no veo cómo esto es otra cosa que un cuarto. Gracias.

Answer 1

Supongo que son independientes porque creo que lo estabas insinuando. El truco es bastante sencillo. Ten en cuenta que nuestras variables aleatorias son continuas y, por tanto, la probabilidad de que algunas sean iguales es $0$ y obtenemos $$P(a>b>c)+P(a>c>b)+P(b>a>c)+P(c>a>b)+P(b>c>a)+P(c>b>a)=1.$$ Como también son independientes, cada uno de estos sucesos tiene la misma probabilidad y obtenemos que cada uno de los sumandos es igual a $1/6$ .
La probabilidad que busca es $P(a>b>c)=1/6$ .
Si se busca la probabilidad de que $a>c$ y $b>c$ Entonces, se obtendría $1/3$ ya que dos de los eventos anteriores lo satisfacen.