¿Cuál es la condición "mínima" que puedo tener para que dos curvas cúbicas planas definidas cada una por una ecuación implícita sobre los reales tengan 9 intersecciones reales distintas? Nótese que no quiero un ejemplo con 9 intersecciones reales sino una caracterización.
Respuesta
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Esta "respuesta" no puede publicarse como comentario porque es un poco detallada (aunque no responde totalmente a mi pregunta). Sólo quiero decir que una de las curvas es una curva M (dos componentes conectados en $\mathbb P^2(\mathbb R)$ ) es no ¡una condición necesaria!
Esto es lo que hice:
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Tomé 8 puntos reales al azar en el plano afín, a saber:
[0,1],[1,2],[-1,1],[-3,-1],[5,-1],[0,0],[5,0],[-7,3]
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He resuelto los polinomios en dos variables y grado total 3 que definen una curva que pasa por estos puntos: $$x^3(-233/5250a-33/350b)+x^2y(313/1050a+23/70b)+x^2(1331/5250a+181/350b)+xy^2(807/875a+246/175b)+xy(-883/5250a-83/350b)+x(-83/525a-8/35b)+y^3(-a-b)+y^2a+yb$$ donde $a,b$ son cualquier número.
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He ajustado $a,b$ para obtener dos curvas que no son curvas M. He aquí un ejemplo
![]()
la primera curva es cuando $a=1,b=-10$ y la otra curva es cuando $a=10,b=-10$ . La parte de las curvas en la parte superior se cruzan 4 veces y las partes restantes se cruzan 5 veces. Espero que esto esté claro Sin embargo, no responde a mi pregunta. Sólo me dice que no es necesario que sea una curva M para obtener el máximo de intersecciones.
