¿Cómo resolver esta ecuación? $y^4-2y^2-\sqrt{y+1}=0$

Question

¿Cómo resolver esta ecuación? $y>0$ $$y^4-2y^2-\sqrt{y+1}=0$$ He encontrado una solución que $y=\frac{1+ \sqrt5}{2} $ ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

En realidad, esto se puede resolver sin adivinar la raíz si probamos dos enfoques del problema:

La primera es deshacerse de la raíz cuadrada elevando la expresión al cuadrado de la siguiente manera: $$y^4-2y^2=\sqrt{y+1}\Longrightarrow (y^4-2y^2)^2=y+1\Longleftrightarrow y^8-4y^6+4y^2-y-1=0$$

La segunda es deshacerse de la raíz cuadrada poniendo $x=\sqrt{y+1}$ Así que $y=x^2-1$ y $x>1$ : $$(x^2-1)^4-2(x^2-1)^2=x\Longleftrightarrow x^8-4x^6+6x^4-4x^2+1-2x^4+4x^2-2=x\Longleftrightarrow\\ x^8-4x^6+4x^4-x-1=0$$

Hay algo muy sospechoso. ¡El polinomio es exactamente el mismo que en el primer caso!

Esto significa que si $x>1$ es una raíz, entonces $y=x^2-1$ ¡es una raíz también! ¿Y si las raíces fueran realmente las mismas? Entonces la raíz sería la solución de $$x=x^2-1\Longleftrightarrow x^2-x-1=0$$ Intentando factorizar esto se llega al éxito, de hecho por división polinómica se obtiene $$x^8-4x^6+4x^4-x-1=(x^2-x-1)(x^6+x^5-2x^4-x^3+x^2+1)$$ Continuando con el segundo enfoque, vemos que $\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}2$ que es la raíz positiva de $x^2-x-1$ satisface $\varphi>1$ . Cualquier otra raíz tendría que ser la raíz de $x^6+x^5-2x^4-x^3+x^2+1$ lo que no es posible, porque por la desigualdad AM-GM $x^6+x^2\ge2\sqrt{x^6x^2}=2x^4$ Así que $$x^6+x^5-2x^4-x^3+x^2+1\ge x^5-x^3+1>0$$ porque $x^5>x^3$ para $x>1$ (en realidad es válido para $1\ge x\ge0$ también, porque entonces $|x^3(x^2-1)|<1$ )

Así que la única solución $y>0$ (e incluso $y\ge-1$ ) es $y=\varphi^2-1=\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}2$ .

Answer 2

$y^4 - 2y^2 = \sqrt{y + 1}$ y esto da: $y^8 - 4y^6 + 4y^4 - y - 1 = 0$ . Observe que $y^2 - y - 1$ es un factor del lado izquierdo de la ecuación. Usando la división larga podemos encontrar todos los ceros.

Answer 3

Dejemos que $f(y) = \sqrt{y+1} $ tenemos

$$ f(f(y)) = \sqrt{\sqrt{y+1}+1} = \sqrt{y^4-2y^2+1} = y^2 - 1 $$

y

$$ f(f(f(y))) = \sqrt{f(f(y))+1} = \sqrt{(y^2-1)+1} = y $$

Porque $f(y)$ es una función creciente, la única manera de hacer $f(f(f(y))) = y$ es si $f(y) = y$

Piensa en ello. Si $f(y) > y$ entonces eso debe significar $f(f(y) > f(y)$ y $f(f(f(y))) > f(f(y))$ , lo que significa que $f(f(f(y)))) > y$ . Por el contrario, si $f(y) < y$ entonces $f(f(f(y))) < y$ . Así que $f(y) = y$

Esto significa que $$\sqrt{y+1} = y \\ y^2-y+1 = 0$$

Consulte esta pregunta también para un problema similar y su explicación.