Límite inverso de un bi-sistema inverso y límite del sistema inverso "diagonal".

Question

Tengo una pregunta relacionada con los límites inversos, ya que no suelo trabajar con ellos de forma tan extensa.

Estoy considerando el límite inverso del siguiente "bi-sistema inverso" de módulos $R$ y flechas negras $f_{\bullet,\bullet}$ y $g_{\bullet,\bullet}$. Dado que los límites inversos conmutan entre sí, podemos definir $$A := \varprojlim_{i,j}A_{i,j}$$ independientemente del orden en que los tomemos. Sea $$\widetilde{A}:=\varprojlim_k A_{k,k}$$ el límite de la diagonal de este sistema inverso.

Es fácil ver que tenemos un mapa único $$\widetilde{A} \to A$$ que hace que todo conmute (inducido por los mapas obvios en el sistema).

Me preguntaba si es "fácil de ver" si hay un mapa que vaya en la otra dirección y luego probar que $A\cong \widetilde{A}$ tal vez.

Answer 1

Un funtor $j\colon C\to D$ entre categorías pequeñas es inicial si al retrotraer límites a lo largo de él no altera los límites (en el sentido preciso de que el morfismo inducido es evidente que es un isomorfismo). Entonces, estás preguntando si la inclusión diagonal en tu caso es inicial.

Si escribimos $N$ para la categoría cuyos objetos son los números naturales, y con $x\to y$ precisamente cuando $x\ge y$, entonces la inclusión de tu diagrama es la diagonal $\Delta \colon N\to N\times N$. Entonces, la pregunta es si $\Delta$ es inicial. Este es el caso, y se puede verificar directamente a partir de la definición: $\Delta$ es inicial si para cualquier objeto $(m,n)\in N\times N$ la categoría rebanada $\Delta/(m,n)$ es conexa. Alternativamente, todo funtor adjunto izquierdo es inicial, y $\Delta$ es un adjunto izquierdo, su adjunto derecho está dado por la función join $(m,n)\mapsto m\vee n$ (la función max).

Answer 2

Solo por el bien del argumento, de hecho es fácil dar aquí un enfoque más concreto. El límite de tu doble sistema $A$ es un submódulo $\prod_{i,j} A_{i,j}$ definido por aquellas tuplas $(a_{i,j})$ tales que $a_{i-1,j}=f_{i,j}(a_{i,j})$ y similarmente para los $g$'s. El mapa canónico $A\to \widetilde A$ simplemente envía $(a_{i,j})$ a $(a_{k,k}).$