Tenemos un sistema 3d con una fuente que envía la señal y cuatro receptores y conocemos la ubicación de las coordenadas de estos cuatro receptores. Tenemos cuatro diferencia de tiempo de llegada. Cómo calcular la ubicación de la fuente.
Respuesta
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user90997
Puntos
1
Llamando a $x, y, z$ las coordenadas de la fuente, y $x_i, y_i, z_i$ ( $i=1...4$ ) las de los receptores, la distancia $D_i$ entre la fuente y el receptor $i$ viene dada por $$\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}$$ Considerando dos receptores $i$ y $j$ la diferencia $D_i-D_j=D_{ij}$ en la distancia a la fuente viene dada por
$$ D_{ij}=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}-\sqrt{(x-x_j)^2+(y-y_j)^2+(z-z_j)^2}$$
Ahora llamemos a $T_{ij}$ la diferencia de tiempo de llegada de la señal entre el receptor $i$ y el receptor $j$ . Suponiendo que el tiempo de propagación de la señal está relacionado linealmente con la distancia según un factor de proporcionalidad $k$ (que representa la velocidad de la señal), y teniendo en cuenta que conocemos el valor de $T_{ij}$ para 4 parejas de receptores $i,j$ podemos escribir 4 ecuaciones diferentes de la forma $$D_{ij}=kT_{ij}$$
Por lo tanto, obtenemos un sistema con cuatro ecuaciones y cuatro variables desconocidas ( $x, y, z, k$ ), que se puede resolver para obtener las coordenadas de la fuente.
