volumen de un sólido - rotación $y$ -eje

Question

Dejemos que $y=g_{a}(x)=\sqrt{x}-\sqrt{a}$ sea una función. La gráfica de la función $g_a$ junto con los ejes de coordenadas delimita una región. Ahora esta región se girará alrededor de la línea $y=\sqrt{a}$ .

Determina el volumen de este sólido.

Lo que hice.

Hice la intersección con $\cap Oy$ y obtuve el punto $(0,-\sqrt{a})$ . El volumen es $$\pi\int^{\sqrt{a}}_{-\sqrt{a}}{x^2\mbox{dy}}.$$ Pero $x^2=(y+\sqrt{a})^4$ . Así que tengo que evaluar $$\pi\int^{\sqrt{a}}_{-\sqrt{a}}{(y+\sqrt{a})^4}\mbox{dy}.$$

¿Está bien o no?

Gracias.

¿Cómo puedo girar la región alrededor de la línea $y=\sqrt{a}$ si la figura se ve:

Gracias de nuevo.

Answer 1

Haz un croquis de la región.

Si vamos a utilizar secciones transversales (discos, arandelas) perpendiculares a la $x$ -eje, entonces queremos integrar con respecto a $x$ , de $0$ a $a$ .

La sección transversal es una "arandela", radio exterior $\sqrt{a}-(\sqrt{x}-\sqrt{a})$ y el radio interior $\sqrt{a}$ . Así que el volumen es $$\int_0^a\pi \left(2\sqrt{a}-\sqrt{x}\right)^2\,dx -\pi a^2.$$

De otra manera: Podríamos utilizar carcasas cilíndricas. Consideremos la franja horizontal "en" $y$ de espesor $dy$ . Al girarlo obtenemos una envoltura cilíndrica, donde el cilindro tiene radio $\sqrt{a}-y$ y la altura $x$ . Así, el volumen es $$\int_{-\sqrt{a}}^0 2\pi x (\sqrt{a}-y)\,dy.$$ Expreso $x$ en términos de $y$ y se integren.

Answer 2

$g_{a}(x)=\sqrt{x}-\sqrt{a}$

$y=\sqrt{a}$ .

El volumen se evalúa mediante la siguiente expresión, ya que se gira por $y=\sqrt{a}$ $$\pi\int_{x=0}^{4a}{(\sqrt{a}-y)^2\mbox{dx}}.$$

Y el rango de x se encuentra resolviendo $$y$$ $$\text{and}$$ $$ g_a$$ que da $\sqrt{x}=2\sqrt{a}$

Pero y=0 para x=0 a x= a & $y=\sqrt{x}-\sqrt{a}$ para x= a a x=4a