Visualización de campos finitos

Question

Estoy interesado en la búsqueda visual y/o física enfoques para la comprensión finita campos. Yo sé de un par de: V. I. Arnold tiene un par de fotos de 'finito círculos' y 'finito tori' en su libro Dinámica, Estadística y Geometría Proyectiva de los Campos de Galois. También, N. Carter muestra lo que se podría llamar "doble diagramas de Cayley' de los campos de la orden de $4=2^2$ $8=2^3$ en su libro Visual Teoría de grupos, que reproduzco aquí:

Las líneas continuas son la gráfica de la suma y las líneas de puntos son la gráfica de la multiplicación. Me gusta cómo se puede ver la estructura de la aditivo grupo como un producto cíclico de los grupos con el fin de la característica, y si se mira de cerca se puede ver cómo el grupo multiplicativo es cíclico.

Hay otros interesantes visual/física formas de entendimiento finito campos?

Answer 1

He aquí un interesante sobre el problema de la visualización de campos finitos: Thomas Alden Gassert, un estudiante de posgrado, estudios finito campos generados por las soluciones de afirmar polinomios, produciendo una visualización de lo finito campos a través de los ciclos. Ver las fotos en su sitio web y, especialmente, en sus artículos: https://www.math.umass.edu/~gassert/

Answer 2

Mientras no las visualizaciones de los limitados campos a los que podría encontrar el libro: Una Geométrica Libro de imágenes por Burkard Polster, Springer, nueva york, 1998 de interés. Tiene maneras de visualizar los diversos objetos combinatorios como finito afín planos y proyectiva finita planos (algunos de los cuales pueden ser co-ordinatized el uso de campos finitos), así como los medios para la elaboración de otros finito de objetos combinatorios (Steiner triple sistemas, generalizar cuadrángulos, etc.).

Answer 3

John Conway ha construido el campo finito $\mathbf F_{2^n}$ utilizando el juego de Nim. Es bastante sorprendente la construcción, sin un conocido contraparte para impares, números primos (que yo sepa). Usted puede ver la entrada de la Wikipedia y las referencias en la parte inferior.

Answer 4

Usted puede construir geométricamente la suma y la multiplicación de las operaciones de un determinado campo finito $\mathbb{F}_n$ en un número finito de plano proyectivo de orden $n$, que se construyó a partir del espacio vectorial $\mathbb{F}_n^3$ (los puntos del plano proyectivo son todas las líneas que pasa por el origen en el espacio vectorial, que se puede visualizar como una infinita repetición de 3d celosía, o una discreta en 3d finito toro). Hay una buena exposición de las construcciones en el §6.4 de Stillwell los Cuatro Pilares de la Geometría de la real proyectiva del plano que se puede adaptar a un número finito proyectiva del plano.

He aquí un ejemplo que me atrajo de la $1+1=0$$\mathbb{F}_2$:

La línea en el infinito es elegido de forma arbitraria, $\mathscr{L}$ es una línea de 'paralelo' a la $x$-eje (es decir, la reunión es en la línea en el infinito), y la construcción se dibujan las líneas más gruesas con el final de la línea que apunta a que el resultado (0).