El producto de dos elementos que no están en el subgrupo no está en el subgrupo

Question

Esto puede ser una pregunta estúpida pero si tengo un subgrupo $H$ de $G$ y tengo $h\in H$ y $g\notin H$ entonces $gh\notin H$ ya que si $gh\in H$ entonces $g\in Hh^{-1}=H$ es una contradicción. Pero, ¿y si tengo $x\notin H$ , cuál es mi argumento de por qué $gx\notin H$ ?

Answer 1

No es cierto que:
$x\notin H$ y $g\notin H$ $\implies$ $xg\notin H$ .
(Si entiendo su pregunta, quería justificar esta afirmación).

Contraejemplo:
Sólo toma $H=\{e_G\}$ y $x=g^{-1}$ para algunos $g\ne e_G$ .

Por ejemplo $H=\{0\}$ y $g=1$ , $x=-1$ en $(\mathbb Z,+)$ .