Transformación de Laplace y PIV en $\infty$

Question

Resolviendo la siguiente ecuación diferencial $$ty^{''}\left ( t \right )+\left ( t-1 \right )y^{'}\left ( t \right )-y\left ( t \right )=0$$ con valores iniciales $$y\left ( 0 \right )=5, y\left ( \infty \right )=0$$ Sospecho que la identidad $$\lim _{t\rightarrow \infty}y\left ( t \right )=\lim _{s\rightarrow 0}sF\left ( s \right ) \left ( * \right )$$ donde $s$ es un varaible complejo sería de ayuda aquí. Pero para la transformada de Laplace de la segunda derivada necesitamos el valor inicial de la primera derivada. ¿Podemos obtener de alguna manera ese valor utilizando la ecuación $\left ( * \right )$ ?

Answer 1

$ty''(t)+(t-1)y'(t)-y(t)=0$

$t(y'(t)+y(t))'-(y'(t)+y(t))=0$

$\dfrac{(y'(t)+y(t))'}{y'(t)+y(t)}=\dfrac{1}{t}$

$\int\dfrac{(y'(t)+y(t))'}{y'(t)+y(t)}dt=\int\dfrac{1}{t}dt$

$\ln(y'(t)+y(t))=\ln t+c$

$y'(t)+y(t)=C_1t$

$(e^ty(t))'=C_1te^t$

$e^ty(t)=C_1(t-1)e^t+C_2$

$y(t)=C_1(t-1)+C_2e^{-t}$

$y(\infty)=0$ :

$C_1=0$

$\therefore y(t)=C_2e^{-t}$

$y(0)=5$ :

$C_2=5$

$\therefore y(t)=5e^{-t}$