Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $6$ . Dejemos que $a,b\in G$ con $|a|=3$ y $|b|=2.$ Demostrar que $⟨a⟩\cap ⟨b⟩ = \{e_G\}.$

Question

Ya he mostrado $\{e_G\} \subseteq \langle a\rangle \cap \langle b\rangle,$ ahora necesito mostrar $\langle a\rangle \cap \langle b\rangle \subseteq \{e_G\}.$ A partir de algún elemento en $\langle a\rangle \cap \langle b\rangle$ y utilizando el Teorema de Lagranges. Pero no estoy seguro de cómo armarlo, sé que es simple. Gracias

Answer 1

Si puedes utilizar el teorema de Lagrange, observa que el orden de la intersección debe dividir $2$ ya que está contenido en un grupo cíclico de orden $2$ y también debe dividir $3$ . ¿Qué número entero positivo divide a ambos $2$ y $3$ ?

Answer 2

¡Hola y bienvenido a la pila!

Tome un elemento en la intersección $c$ . Desde $c\in \langle a \rangle$ utilizando el teorema de Lagrange el orden de $c$ tiene que dividir $3$ . De la misma manera, ya que $c\in \langle b\rangle$ , entonces el orden de $c$ tiene que dividir $2$ .

Entonces el orden de $c$ divide $2$ y $3$ Así que es $1$ . El elemento único de $G$ que tiene orden $1$ es $e_G$ así que $\langle a\rangle \cap \langle b\rangle \subseteq \{e_G\}$ .