Un grupo en el que todos los subgrupos propios son cíclicos

Question

Mientras buscaba algunos problemas de álgebra abstracta en Internet para jugar y resolver, encontré el siguiente problema:

$\mathbb{C}_{p^{\infty}} = \{\exp^{\frac{2\pi i k}{p^n}} : k, n \in \mathbb{N}\}$ . Demostrar que todo subgrupo propio de $\mathbb{C}_{p^{\infty}}$ es cíclico con $p^n$ elementos, donde $n = 1, 2, 3, 4, 5,\dots$

Esta pregunta me ha parecido interesante aunque también estoy un poco perplejo en cuanto a cómo mostrarla. ¿Qué pensáis vosotros?

Answer 1

Dejemos que $G \subset \mathbb{C}_{p^\infty}$ sea un subgrupo propio. Sea $\zeta \in \mathbb{C}_{p^\infty} \setminus G$ . Entonces hay $n \in \mathbb{N}$ y $k \in \mathbb{N}$ con $p \nmid k$ y $\zeta = \exp\left(\frac{2\pi ik}{p^n}\right)$ .

Entonces $g^{p^{n-1}} = 1$ para todos $g \in G$ . Porque si $G$ contenía un elemento $g_0$ de orden $\geqslant p^n$ , digamos que de orden $p^m$ entonces $g_1 = g_0^{p^{m-n}}$ sería una primitiva $p^n$ -raíz de la unidad, por lo tanto $g_1 = \exp\left(\frac{2\pi i r}{p^n}\right)$ para algunos $r$ con $p \nmid r$ . Pero entonces $g_1^{k\cdot r^{-1}} = \zeta \in G$ , donde $r^{-1}$ es la inversa multiplicativa de $r$ modulo $p^n$ .

Así que todo subgrupo propio está contenido en el grupo de $p^n$ -raíces de la unidad para algunos $n$ y ese grupo es cíclico, por lo que todos sus subgrupos son cíclicos.