¿Cómo podría resolver este problema de secuencia?

Question

Dado $a_1 = 4$ , $a_2 = -2$ y $a_{n} = 2a_{n–2} - 3a_{n–1}$ ¿Cuál es el valor más pequeño de $n$ para lo cual $|a_{n}| > 1\,000\,000$ ?

Sé que puedes ir probando números hasta llegar a 1.000.000. Sin embargo, ¿hay alguna forma de resolver este problema no limitándose a comprobar los números.

Answer 1

Si simplificas la expresión todo lo que puedas, deberías obtener $$a_n=\frac 1 {34}\big( \left(85-23 \sqrt{17 } \right)\,r_1^n+ \left(85+23 \sqrt{17 } \right)\,r_2^n \big)$$ donde $$r_1=-\frac{\sqrt{17}+3}{2} \qquad \text{and} \qquad r_2=\frac{\sqrt{17}-3}{2} $$ Puedes notar que $r_2$ es bastante pequeño. Así, para valores "grandes" de $n$ una asintótica es $$a_n \sim (-1)^{n+1} \,\frac{\left(23 \sqrt{17 }-85 \right)}{34} \left(\frac{\sqrt{17}+3}{2}\right)^n$$ Así que, si quieres $|a_n| \approx 10^k $ , tomando logaritmos necesitas calcular $n$ tal que $$\log(10^k)=\log\left(\frac{23 \sqrt{17 }-85 }{34}\right)+n \log\left(\frac{\sqrt{17}+3}{2}\right)$$ Aplicado al caso en que $k=6$ esto daría como un verdadero $n\approx 11.85$ . Así que, $12$ parece ser un buen candidato.

Pero, para $a_n$ mismo, debes tener cuidado de que la secuencia alterne entre números positivos y negativos.