Dada una XYZ marco en el espacio 3D en el origen O(0,0,0) . Y dada una ecuación plana:
L = 0.5774x + 0.1155y + 0.8083z = 0 .
Necesito derivar la matriz que rote el marco XYZ hasta que el eje Z sea vertical al plano L .
Respuestas
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Su plano está dado por la ecuación $$ L = 0.5774 x + 0.1155 y + 0.8083 z = 0 $$
a partir de esto se puede derivar el vector normal
$$ n = \frac{(0.5774, 0.1155, 0.8083)^t}{|(0.5774, 0.1155, 0.8083)^t|} = (0.5774, 0.1155, 0.8083)^t $$
Así, $L$ ya se dio como
$$ L = n \cdot r = 0 $$
para un vector $r = (x,y,z)^t$ .
Buscando un vector $u = (1, y, 0)^t \in L$ :
$$ u \in L \iff n \cdot u = n_x + n_y y = 0 \iff y = -\frac{n_x}{n_y} = -5 \iff u = (1, -5, 0)^t \\ n_u = \frac{u}{|u|} = (0.19612,-0.98058, 0)^t $$
Así que tenemos el vector unitario normal $n$ del plano y un vector unitario $n_u$ dentro del plano. Buscando otro vector unitario $n_v \perp n_u \wedge n_v \perp n$ :
$$ n_v = n_u \times n = \epsilon_{i,j,k} \, e_i \, n_{u j} \, n_k = (-0.79260, -0.15852, 0.58884)^t $$
Es un bonito sistema ortonormal, con dos vectores en el plano, y uno perpendicular a él.
La matriz $$ R = (n_u, n_v, n) $$
llena
$$ R e_x = n_u \quad R e_y = n_v \quad R e_z = n $$
donde $e_x = (1, 0, 0)^t$ , $e_y = (0,1,0)^t$ y $e_z = (0, 0, 1)^t$ .
Sin embargo, $\det(R) = -1$ lo que significa que no es una rotación adecuada, por lo que cambiamos a $$ R = (n_v, n_u, n) = \left( \begin{matrix} -0.79260 & 0.19612 & 0.57740 \\ -0.15852 & -0.98058 & 0.11550 \\ 0.58884 & 0.00000 & 0.80830 \end{matrix} \right) $$
user64349
Puntos
143
Tienes la única condición de tener el eje Z orientado en la misma dirección que la normal del plano. Lo que significa, que tendrás infinitas posibilidades.
Tiene el vector de $Z$ eje $\vec{z}$ y el vector de la normal del plano $\vec{n}$ . Si se gira el sistema de coordenadas alrededor del vector $\vec{z} + \vec{n}$ por $\pi$ , tendrás el eje Z a la dirección original del vector normal.
Lo he utilizado en OpenGL, donde hay una bonita función glRotatef.
Si quieres alguna orientación específica del plano XY, tendrás que rotar de nuevo alrededor del eje Z.
