Una simple cuestión de notación sobre la norma grad y Lp

Question

¿Qué significa esta notación?

$||\nabla u|| _p$ ¿quieres decir? Me gustaría tener una definición exacta.

También he visto $|\nabla u|_1$ . ¿Significa esto que el $\sum_i|\partial_i u|$ ?

Answer 1

Si $u:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ es una función, entonces $\nabla u=(\partial_1 u,\ldots,\partial_n u)\in\mathbb{R}^n$ es el vector de derivadas parciales. Para cualquier vector $x$ El $p$ -norma $\left\|\cdot\right\|_p$ se define como $$ \left\|x\right\|_p = \left(\sum_{i}\left|x_i\right|^p\right)^{1/p}. $$ En particular, $$ \left\|\nabla u\right\|_p = \left(\sum_{i}\left|\partial_i u\right|^p\right)^{1/p} $$ y $$ \left\|\nabla u\right\|_1= \sum_{i}\left|\partial_i u\right|. $$

Answer 2

Por lo general, $$\lVert \nabla u \rVert_p^p = \sum_{i=1}^n\lVert D_iu \rVert_p^p$$ donde $D_i$ significa que el $i$ derivada parcial. El $\lVert \cdot \rVert_p$ se refiere al $L^p$ norma, es decir, $\lVert u \rVert_p = (\int |u|^p)^{\frac{1}{p}}.$

En cuanto a la segunda pregunta: establezca $p =1$ , por lo que tenemos el $L^1$ norma.