Congruencia de una matriz

Question

Dejemos que $X=\begin{bmatrix}a&b&0&0\\ c&d&0&0\\0&0&-a&-b\\0&0&-c&-d\end{bmatrix}$ donde $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ .

Para un tal dado $X$ ¿hay un $4\times 4$ matriz $P$ en $\mathbb{Z}$ -coeficiente que satisface lo siguiente?

• $\operatorname{det}(P)=\pm 1$
• $PXP^T=\begin{bmatrix} O&A\\B&O\end{bmatrix}$ donde $A, B,O$ son $2\times 2 $ matrices y $O$ es la matriz con entradas nulas.

Answer 1

Prueba con $$ P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix} I&I\\ I&-I \end{matrix}\right), $$ donde $I$ es el $2\times 2$ matriz de la unidad.

Debe ser $P^{-1}=P$ y $PXP=\left(\begin{matrix} 0&A\\ A&0 \end{matrix}\right)$ con $A=\left(\begin{matrix} a&b\\ c&d \end{matrix}\right)$ .