Supongamos que Msub_n(x) es el polinomio de maclaurin de orden n para f(x). Demostrar que si k es una constante entonces Msub_n(kx) es el polinomio de maclaurin de orden n para f(kx).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que $g(x)=f(kx)$ . Entonces, aplicando la regla de la cadena repetidamente, encontramos que $g'(x)=kf'(kx)$ , $g''(x)=k^2f''(kx)$ y en general $g^{(j)}(x)=k^j f^{(j)}(kx)$ . Aquí utilizamos la notación $p^{(j)}(x)$ para el $j$ -derivada de $p(x)$ . (El $0$ -derivada de $p(x)$ es $p(x)$ .) Concluimos que $$g^{(j)}(0)=k^j f^{(j)}(0),$$ para todos $j\le n$ .
El $j$ -término de la expansión de la serie MacLaurin de $f(x)$ es $\frac{1}{j!}f^{(j)}(0)x^j$ . Así, $$M_n(kx)=\sum_{j=0}^n \frac{1}{j!}f^{(j)}(0)k^jx^j.\tag{1}$$
El $j$ -término de la expansión de la serie MacLaurin de $g(x)$ es $\frac{1}{j!}g^{(j)}(0)x^j$ . Esto es $\frac{1}{j!}k^j f^{(j)}(0)x^j$ . De ello se desprende que el $n$ -polinomio de MacLaurin de orden 0 de $g(x)$ es decir, de $f(kx)$ es $$\sum_{j=0}^n \frac{1}{j!}k^jf^{(j)}(0)x^j.\tag{2}$$ La comparación de (1) y (2) arroja el resultado deseado.
