¿Cómo equivale a la propiedad de aproximación?

Question

Estoy tratando de demostrar el Lemma 4.8 de [1] lectura en línea :

Notación: $\tau_C(X)$ significa la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos compactos de $X$ .

Lema 4.8. Para un espacio de Banach $X$ las siguientes afirmaciones son equivalentes.

(1) $X$ tiene la propiedad de aproximación.

(2) El operador de identidad $I:X \longrightarrow X$ pertenece al $\tau_C(X)$ -cerrado del subespacio vectorial $\mathtt{F}(X)$ de todos los operadores de rango finito en $\mathtt{B}(X)$ .

(3) Si un $\tau_C(X)$ -funcional lineal continuo $\varphi$ en $\mathtt{B}(X)$ satisface $\varphi(x^*\otimes x) = 0$ para todos $x \in X$ y todos $x^*\in X^*$ entonces $\varphi(I) = 0$ .

-Puedo probar $1\Rightarrow 2\Rightarrow 3$ y también $2\Rightarrow 1$ pero no tengo ni idea de $3\Rightarrow 2$ o $3\Rightarrow1$ ¡¡!!

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

[1] Abramovich Y.A., Aliprantis C.D. Una invitación a la teoría de operadores

Answer 1

Prueba ( $3\Rightarrow 2$ ): Utilice la vía de la contradicción y luego aplique el corolario [1] a $I\in \mathtt{B}(X)\setminus \overline{\mathtt{F}(X)}^{\tau_C(X)}$ .

[1]: Corollary-IV.3.15 (J.B. Conway, A Course in Functional Analysis):

Si $X$ es un LCS, $Y$ es un subespacio lineal cerrado de $X$ y $x_0\in X\setminus Y$ entonces existe un funcional lineal continuo $f:X\longrightarrow \mathbb{F}$ tal que $f(y)=0$ para todos $y\in Y$ y $f(x_0)=1$ .