Respuesta parcial solamente:
A espacio vectorial es un conjunto en el que se pueden sumar dos de sus elementos, y multiplicar cualquier elemento por un "escalar", sujeto a ciertas reglas que no mencionaré aquí. Cualquiera de esos elementos puede llamarse vector, si se quiere.
Ejemplo estándar: el conjunto de todos los $n$ -partidas de números reales, que se suman por coordenadas y se multiplican por un escalar real $\lambda$ multiplicando cada coordenada por esa $\lambda$ .
Otros ejemplos:
$\quad$ 1. el espacio vectorial es el conjunto de todas las expresiones polinómicas en una sola variable (digamos $x$ ), con coeficientes reales. Si se quiere llamar a $1-3x+x^2$ un vector, puede, siempre y cuando haya dejado claro que su espacio vectorial es algún conjunto especificado de polinomios (tal vez todos), satisfaciendo las reglas.
$\quad$ 2. El espacio vectorial es $\Bbb R$ el conjunto de los números reales, pero los escalares permitidos son sólo los números racionales $\Bbb Q$ . Este es un ejemplo de un espacio vectorial de dimensión infinita sobre los racionales .
$\quad$ 3. Se puede hablar de la totalidad de todas las matrices de dos por dos con entradas reales. Se trata de un espacio vectorial sobre el campo real $\Bbb R$ de dimensión cuatro. Una matriz simple será un vector en este espacio.
$\quad$ 4. El conjunto de todas las posibles secuencias de números reales $a_1,a_2,a_3,\cdots\,$ . Se puede pensar en ellas como inf-tuplas de reales, y cualquiera de ellas sería un vector en este espacio vectorial.
$\quad$ 5. El conjunto de todas las secuencias reales como las anteriores, pero con la condición de que $\lim_{i\to\infty}a_i$ existe como un número real. Se pueden sumar dos cualquiera de ellos para obtener otro, como sabes, y si tomas una secuencia convergente $\{a_i\}$ se puede multiplicar cada término por un $\lambda$ para obtener otra secuencia convergente, como también sabes. Así que también es un buen espacio vectorial.
