Encontrar la solución general de la ecuación $xy^{'}=2x^2\sqrt{y}+4y$

Question

Esta es la ecuación diferencial de Bernoulli: $$xy^{'}-4y=2x^2y^{\frac{1}{2}}$$

Sustitución $y=z^{\frac{1}{1-\alpha}},\alpha=\frac{1}{2},y^{'}=z^{'2}$ da $$xz^{'2}-4z^2=2x^2z$$

¿Es esto correcto? ¿Cuál es el método para resolver esta ecuación?

Answer 1

$$xy'(x)=2x^2\sqrt{y(x)}+4y(x)\Longleftrightarrow$$ $$xy'(x)-4y(x)=2x^2\sqrt{y(x)}-4y(x)\Longleftrightarrow$$ $$\frac{y'(x)}{2\sqrt{y(x)}}-\frac{2\sqrt{y(x)}}{x}=x\Longleftrightarrow$$

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Dejemos que $v(x)=\sqrt{y(x)}$ que da $v'(x)=\frac{y'(x)}{2\sqrt{y(x)}}$ :

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$$v'(x)-\frac{2v(x)}{x}=x\Longleftrightarrow$$

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Dejemos que $\mu(x)=e^{\int-\frac{2}{x}\space\text{d}x}=\frac{1}{x^2}$ .

Multiplica ambos lados por $\mu(x)$ :

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$$\frac{v'(x)}{x^2}-\frac{2v(x)}{x^3}=\frac{1}{x}\Longleftrightarrow$$

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Sustituir $-\frac{2}{x^3}=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{1}{x^2}\right)$ :

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$$\frac{v'(x)}{x^2}+\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{1}{x^2}\right)v(x)=\frac{1}{x}\Longleftrightarrow$$

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Aplicar la regla del producto inverso $g\frac{\text{d}f}{\text{d}x}+f\frac{\text{d}g}{\text{d}x}=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(fg)$ a la izquierda:

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$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{v(x)}{x^2}\right)=\frac{1}{x}\Longleftrightarrow$$ $$\int\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{v(x)}{x^2}\right)\space\text{d}x=\int\frac{1}{x}\space\text{d}x\Longleftrightarrow$$ $$\frac{v(x)}{x^2}=\ln\left|x\right|+\text{C}\Longleftrightarrow$$ $$v(x)=x^2\left(\ln\left|x\right|+\text{C}\right)\Longleftrightarrow$$ $$y(x)=\left(x^2\left(\ln\left|x\right|+\text{C}\right)\right)^2\Longleftrightarrow$$ $$y(x)=x^4\left(\ln\left|x\right|+\text{C}\right)^2$$

Answer 2

Se nos da

$$xy^{'}-4y=2x^2y^{\frac{1}{2}}$$

Dejemos que $z = y^{1-\frac{1}{2}} = y^{\frac 12}.$ Entonces

$$z' = \frac12 y^{-\frac12}y' \implies y' = 2\frac{z'}{y^{-\frac12}}.$$ Con esto, obtenemos

$$2x\frac{z'}{y^{-\frac12}}-4y=2x^2y^{\frac{1}{2}}$$

Ahora multiplique por $y^{-\frac12}$ . Obtenemos

$$2x{z'}-4y^{\frac12}=2x^2$$ que es lo mismo que

$$2x{z'}-4z=2x^2$$

Ahora resuelve esta última ecuación (lineal de primer orden).

Answer 3

Si y = z^2 ... al diferenciar esta ecuación con respecto a x ... fíjate que z también depende implícitamente de x. Así que tenlo en cuenta. Pista: Regla de la cadena