Consideremos un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ dotado de una filtración $(\mathcal F_t)_{t\geq 0}$ . Un tiempo de parada $T$ es una variable aleatoria que toma valores en $[0,\infty]$ tal que para todo $t\geq 0$ tenemos $\{T\leq t\}\in\mathcal F_t$ .
Quiero demostrar que la suma de dos tiempos de parada $T$ y $S$ es un tiempo de parada. Sé que puedo reescribir
$$\{S+T<t\} = \bigcup_{r,s \in \mathbb{Q}^+;\; r+s<t} \{S < r\} \cap \{T < s\}\,.$$
Pero para que sea una prueba tendría que demostrar que una definición equivalente para el tiempo de parada es que $\{T<t\}\in\mathcal F_t$ para todos $t\geq 0$ .
Utilizando $\{T<t\} = \bigcup_{n\in\mathbb N^+}\{T\leq t- 1/n\}$ Veo que si $T$ es un tiempo de parada que $\{T<t\}\in\mathcal F_t$ . Pero, ¿es cierta la implicación inversa? Me parece que requiere una continuidad correcta de la filtración... Pero hasta donde yo sé, la suma de dos tiempos de parada es un tiempo de parada sin ninguna otra suposición sobre la filtración.
Entonces, ¿cómo demostrar que $S+T$ ¿es un tiempo de parada? ¿Debo utilizar otro tipo de argumento o me equivoco en cuanto a la necesidad de la continuidad correcta?
