Aunque la página de Wikipedia da una buena introducción al concepto de fonones introduce muy rápidamente la aproximación de las interacciones entre vecinos, y no da algunos de los detalles importantes sobre cómo las frecuencias de los fonones son calculan las frecuencias de los fonones en función de los potenciales de interacción.
El artículo citado de Rechtsman, Stillinger y Torquato apareció en Phys Rev Lett, 95, 228301 (2005) y también como preimpresión . Más detalles aparecen en un artículo posterior de los mismos autores Phys Rev E, 73, 011406 (2006) , también disponible como preimpresión . El mismo grupo ha llevado estas ideas más allá en los años posteriores.
El potencial de interacción depende sólo de la distancia entre los átomos pero tiene una forma poco convencional con dos mínimos separados por un máximo.
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La idea es "adaptar" el potencial para favorecer una estructura cristalina abierta (en este caso basada en una red de panal). De hecho, esperan que dicha red se autoensamble con ese potencial. Por tanto, necesitan manejar una red con varios átomos por celda unitaria, y el potencial se extiende a más de los vecinos más cercanos (aunque no hay términos electrostáticos de largo alcance). Como parte del proceso de "revisión" del potencial, requieren que todas las frecuencias de los fonones sean reales; es decir, que todas las "constantes de resorte" sean positivas. En caso contrario una simple deformación con el vector de onda correspondiente reduciría la energía potencial, por lo que la estructura cristalina propuesta sería mecánicamente inestable.
Una descripción adecuada de "cómo calcular los fonones" se da en varios libros de física del estado sólido y en ese segundo artículo se refieren a N Ashcroft y ND Mermin Física del estado sólido . Lo que sigue es sólo un esbozo.
Que la posición del átomo $k$ en la celda unitaria $m$ sea $$ \mathbf{R}_{mk} = \mathbf{R}_m + \mathbf{r}_k + \mathbf{u}_{mk} $$ donde $\mathbf{u}_{mk}$ es el desplazamiento instantáneo desde la posición ideal de la red, siendo este último una suma de los vector base $\mathbf{r}_k$ dentro de la celda, y la posición de la celda $\mathbf{R}_m$ . La aproximación cuadrática a la energía de la red es $$ \Phi = \Phi_0 + \frac{1}{2} \sum_{mk\alpha} \sum_{m'k'\alpha'} \Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'}\, u_{mk}^\alpha u_{m'k'}^{\alpha'} $$ donde $\alpha,\alpha'=x,y,z$ (o simplemente $x,y$ en 2D) y $$ \Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'} = \left. \frac{\partial^2\Phi}{\partial u_{mk}^\alpha \partial u_{m'k'}^{\alpha'}} \right|_{0} $$ se evalúa en el equilibrio, todos los $u_{mk}^\alpha=0$ . No hay término lineal porque en el equilibrio no hay fuerzas netas sobre ningún átomo. La suma va sobre todos los pares de átomos en una muestra grande (macroscópica), pero, por supuesto, los términos $\Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'}$ son distintos de cero sólo para los pares dentro del rango de interacción; también dependen sólo de la diferencia en las posiciones de las celdas unitarias $\mathbf{R}_m-\mathbf{R}_{m'}$ , por lo que se pueden escribir $\Phi_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{R}_m-\mathbf{R}_{m'})$ . Esto ayuda a la hora de realizar la transformación de Fourier.
Introducción de los modos de Fourier $\mathbf{u}_{mk}\propto\sum_{\mathbf{q}}\mathbf{U}_{\mathbf{q}k} \exp(-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}_m)$ simplifica la energía a $$ \Phi = \Phi_0 + \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{q}} \sum_{k\alpha} \sum_{k'\alpha'} D_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{q}) \, U_{\mathbf{q}k}^{\alpha} U_{-\mathbf{q}k'}^{\alpha'} $$ donde $$ D_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{q}) = \sum_{\mathbf{R}} \Phi_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{R}) \exp(-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}) $$ Esto se suele normalizar mediante un término que incluye las masas atómicas para dar el matriz dinámica , pero si los átomos tienen todos la misma masa esto es trivial. Si hay $K$ átomos en la celda unitaria, los términos $D_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{q})$ son los elementos de una matriz $\mathbb{D}(\mathbf{q})$ cuyo tamaño es $3K\times3K$ (o $2K\times2K$ en 2D). La determinación de los valores propios de $\mathbb{D}(\mathbf{q})$ es la operación clave: si alguno de ellos es negativo, la frecuencia de fonón correspondiente es imaginaria, y el cristal será inestable.
Calculando $\Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'}$ implica mirar a todos los $K$ átomos en la celda unitaria, y examinando la interacción con cualquier otro átomo dentro del rango de la potencial $v(r)$ . Por supuesto, $\mathbb{D}(\mathbf{q})$ necesita ser calculado para un gran número de vectores de onda en la zona de Brillouin, pero esto es manejable.
