Demostración de la desigualdad mediante la función de Gauss

Question

Si $\alpha, \beta\in \Bbb{R}$ y $m, n\in \Bbb{N}$ demuestran que la desigualdad

$[(m+n)\alpha]+[(m+n)\beta] \ge [m\alpha]+[m\beta]+[n\alpha+n\beta]$

se mantiene si m=n

He pensado que tenemos que encontrar un contraejemplo tal que cuando $m\neq n$ siempre existe cierto (m, n) que hace que la desigualdad no se cumpla. Pero era demasiado confuso hacerlo. También probé con desigualdades básicas con funciones de Gauss, pero me daba bastante miedo no poder encontrar contraejemplos en ese caso.

¿Sería posible descifrarlo utilizando métodos bastante simples en lugar de separar cada caso posible y encontrar un contraejemplo en cada caso?

Gracias.

Answer 1

Puede proceder de la siguiente manera.

Lema 1. La desigualdad es verdadera si $m=n$ .

Prueba del lema 1. Sustitución de $m$ con $n$ la desigualdad se convierte en

$$ [2n\alpha]+[2n\beta] \geq [n\alpha]+[n\beta]+[n(\alpha+\beta)] \tag{1} $$ Pongamos $x=n\alpha-[n\alpha],y=n\beta-[n\beta]$ . Entonces $x,y$ están en $[0,1)$ , $[2n\alpha]=2[n\alpha]+[2x], [2n\beta]=2[n\beta]+[2y]$ y $[n(\alpha+\beta)]=[n\alpha]+[n\beta]+[x+y]$ de modo que (1) se reduce a $[2x]+[2y] \geq [x+y]$ . Ahora $[x+y]$ sólo puede ser $0$ o $1$ ; si es $0$ la desigualdad es clara, y si lo es $1$ entonces al menos uno de $x,y$ es mayor que $\frac{1}{2}$ , con lo que concluye la demostración del lema 1.

Lema 2. Si $m < n$ la desigualdad se hace falsa para $\alpha=\frac{2m^2+1}{2mn(m+n)}, \beta=\frac{2mn-1}{2mn(m+n)}$ .

Prueba del lema 2. Tenga en cuenta que $\alpha+\beta=\frac{1}{n}$ , $(m+n)\alpha=1-\frac{2m(n-m)-1}{2mn}$ y $(m+n)\beta=1-\frac{1}{2mn}$ . Deducimos que $$ [(m+n)\alpha]=[(m+n)\beta]=[n\alpha]=[n\beta]=0, [n(\alpha+\beta)]=1. $$

Lema 3. Si $m > n$ y $m$ no es un múltiplo de $n$ la desigualdad se hace falsa para $\alpha=\frac{1}{m}, \beta=\frac{q}{m}$ , donde $q=[\frac{m}{n}]$ .

Prueba del lema 3. De hecho, tenemos $(m+n)\alpha=1+\frac{n}{m}$ Así que $[(m+n)\alpha]=1$ . Desde $m$ no es un múltiplo de $n$ tenemos $q <\frac{m}{n}$ Así que $(m+n)\beta=q+q\frac{n}{m}$ produce $[(m+n)\beta]=q$ . Trivialmente $[m\alpha]=1$ y $[m\beta]=q$ También $n(\alpha+\beta)=\frac{n}{m}(q+1)$ y $\frac{m}{n} \leq q+1 \leq \frac{m}{n}+1 < \frac{2m}{n}$ Así que $[n(\alpha+\beta)]=1$ . Finalmente

$$ [(m+n)\alpha]+[(m+n)\beta]=1+q < 1+q+1= [m\alpha]+[m\beta]+[n\alpha+n\beta] $$

Lema 4. Si $m > n$ y $m$ es un múltiplo de $n$ , digamos que $m=tn$ para algún número entero $t\geq 2$ la desigualdad se hace falsa para $\alpha=\frac{3t+1}{2nt(t+1)}$ , $\beta=\frac{2t^2-1}{2nt(t+1)}$ .

Prueba del lema 4. Se cumplen las siguientes igualdades :

$$ \begin{array}{rclcl} (m+n)\alpha &=& 1+\frac{t+1}{2t} &=& 2-\frac{t-1}{2t} \\ (m+n)\beta &=& t-1+\frac{2t-1}{2t} &=& t-\frac{1}{2t} \\ m\alpha &=& 1+\frac{t-1}{2(t+1)} &=& 2-\frac{t+3}{2t+2} \\ m\beta &=& t-1+\frac{1}{2(t+1)} &=& t-\frac{2t+1}{2t+2} \\ n(\alpha+\beta) &=& 1+\frac{1}{2(t+1) } & & \\ \end{array} $$

así que

$$ [(m+n)\alpha]+[(m+n)\beta]=1+(t-1) < 1+(t-1)+1= [m\alpha]+[m\beta]+[n\alpha+n\beta] $$

Answer 2

Ewan Delanoy, afortunadamente, me dio una prueba ingénua sobre mi pregunta, que es

$[(m+n)x]+[(m+n)y] \ge [mx]+[my]+[nx+ny]$

donde $m, n\in \Bbb{N}$ y $x, y\in \Bbb{R}$ . Me inspiré (o recibí pistas) de su prueba, y esto es lo que he hecho a través de mi estilo de understadning.

Caso m=n Su prueba es simplemente excelente.

Caso n>m Tenemos que encontrar contraejemplos para cualquier $m, n$ donde $m\not=n$ . Así que tenemos libertad para elegir ciertos $x, y$ para un determinado $m, n$ . Primero, en este caso, pondré

$$ \begin{array}{rclcl} \alpha=\frac{t}{m+n},&\beta=\frac{k}{m+n} \end{array}$$

donde $\alpha$ , $\beta$ son las fracciones decimales de x e y respectivamente y $0 \le t$ , $k <1$ . Entonces podemos representar la desigualdad como

$$[(m+n)\alpha]+[(m+n)\beta] \ge [m\alpha]+[m\beta]+[n\alpha+n\beta]$$

La selección precisa del valor de $\alpha$ y $\beta$ fue hacer los términos del lado izquierdo a cero. Además, consideremos

$$t+k=\frac{m}{n}+1$$

t y k que satisfacen la condición dada siempre existen ya que $1 \le \frac{m}{n}+1 <2$ . Entonces

$$[n\alpha+n\beta]=[n \frac{t+k}{m+n}]=[\frac{m+n}{m+n}]=1>0$$

que es una contradicción. La idea era que como $n>m$ Sería posible hacer que todos los términos que contienen $m$ en 0 pero no los términos con $n$ . Pero para esta parte quizás su prueba es mucho más concisa.

Caso m>n Ahora bien, esta parte era realmente muy complicada ya que si hacemos que el término $[n\alpha+n\beta]$ en cero, la desigualdad obviamente se mantiene. Mi estrategia fue hacer las cosas concisas al principio y luego rellenar la parte que faltaba una a una.

(1): $2n>m$ En primer lugar, para ser concisos, vamos a $\alpha=\beta$ . Entonces la desigualdad se convierte en

$$2[(m+n)\alpha] \ge 2[m\alpha]+[2n\alpha]$$

Entonces dejemos que $\alpha=\frac{1}{m}$ desde $m\not=1$ . Entonces obtenemos

$$2[\frac{m+n}{m}]=2+[\frac{n}{m}]=2 \ge 2+[\frac{2n}{m}]$$

Para hacer una contradicción, $[\frac{2n}{m}] \ge 1$ que sólo es posible cuando $2n>m$ . En resumen, cuando $2n>m$ , poned $\alpha=\beta=\frac{1}{m}$ Entonces, siempre surgirá una contradicción.

(2): $2n<m$ En primer lugar, ya que no debemos hacer que el término $[n\alpha+n\beta]$ en cero, primero fijaré el término en $n$ es decir $[\alpha+\beta]=1$ . Entonces considere

$$\begin{array}{rclcl} \alpha=\frac{2}{m},&\beta=\frac{m-2}{m} \end{array}$$

Esto es posible ya que $m \ge 3$ . Entonces el lado derecho de la desigualdad se convierte en $m+n$ . Y el lado izquierdo se convierte en $m+n-1$ porque

$$[\begin{array}{rclcl} \frac{2m+2n}{m}]=2+[\frac{2n}{m}]=2,& [\frac{(m+n)(m-2)}{m}]=[m+(n-2)-\frac{2n}{m}]=m+n-3 \end{array}$$

por lo que de nuevo surge la contradicción.

(3): $2n=m$ De nuevo, dejemos que $\alpha=\beta$ . Entonces la igualdad se convierte en

$$2[3n\alpha] \ge 3[2n\alpha]$$

Dejemos que $\frac{1}{2n} \le \alpha < \frac{2}{3n}$ Entonces el lado izquierdo se convierte en 2, pero el lado derecho se convierte en 3, lo cual es de nuevo una contradicción.

Intenté dar una forma bastante fácil de entender este problema y qué tipo de estrategia utilicé para resolverlo. En general, mi estrategia fue asumir que los contraejemplos existen en "denso", por lo que hacer las cosas más concisas no me molestaría mucho para encontrar cierto contraejemplo para cada uno de los diferentes casos. En realidad, este problema me llevó casi un día para entenderlo y abordarlo, pero creo que fue muy útil para mí para entender y demostrar la desigualdad basada en la función de Gauss (y encontrar contra-ejemplos también).