$f(f(x))=f(x)$ pregunta

Question

Me pregunto cuál es la clase de funciones $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(f(x))=f(x)$ ?

Creo que debería serlo:

1. Funciones de valor constante
2. la función de identidad
3. función de valor absoluto $|x|$

Pero no sé si esto es correcto o cómo demostrarlo con rigor.

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Estas funciones pueden describirse de la siguiente manera:

Si $A$ es un subconjunto arbitrario de $\mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R} \setminus A \mapsto A$ una función arbitraria. Definir

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{l l} x & \quad \forall x\in A\\ g(x) & \quad \forall x \not \in A \end{array} \right. $$

$f$ tiene esta propiedad de idempotencia.

Al contrario que para un $f$ con la propiedad de idempotencia tal $A$ y $g$ se puede encontrar: $A:=f(\mathbb{R})$ y $g:=f \rvert _{\mathbb{R}\setminus A}$

Answer 2

Aquí hay una gran familia de funciones de este tipo. Elija cualquier función $g(x)$ definido en $(-\infty,0)$ que satisface $g(x)\ge 0$ para todos los negativos $x$ . Entonces definimos $$f(x)=\begin{cases} g(x) & x<0 \\ x & x\ge 0\end{cases}$$

El valor absoluto es un ejemplo de esta familia, correspondiente a $g(x)=-x$ . Pero cualquier función con esa condición servirá, como por ejemplo $g(x)=x^2$ o $g(x)=\sqrt{-x}$ o $g(x)=e^x$ o $g(x)=1+\sin x$ .

Answer 3

Poner $f\left( \mathbb{R} \right) = U \ne \emptyset $ entonces $\forall y \in U$ tenemos $f\left( y \right) = y$ por $f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( x \right)$ . Podemos llamar $U$ una colección de puntos fijos de $f$ .

Si una función $g$ mapas $\mathbb{R}-U$ a $U$ entonces satisface $g\left( {g\left( x \right)} \right) = g\left( x \right)$ .

Por ejemplo, $f\left( x \right) = \left| x \right|$ obtenemos $U = \left[ {0, + \infty } \right)$ por suerte, $f$ mapas $\left( { - \infty ,0} \right)$ a $U$ .

Y, si $U$ tiene exactamente un punto (fijo), digamos $c$ es decir $f(c)=c$ entonces $f$ debe mapas $\left( { - \infty ,\infty } \right) - \left\{ c \right\}$ a $\{c\}$ . Es decir, $f$ es una función de valor constante.

Answer 4

Suponiendo que $f^{-1}$ existe, $$f(f(x))=f(x)\\ \implies f^{-1}(f(f(x)))=f^{-1}(f(x))\\ \implies \boxed{f(x)=x}$$ Esta es la función de identidad, o, el mapa de inclusión que actúa sobre $\mathbb{R}^1$ .