Relación transitiva

Question

Considere $A$ es una relación definida en $R$ (números reales) donde $A = \{(a,b):|a-b|<4, a, b \in R\}$ . Demostrar/desmentir $A$ es transitivo.

Sé que si $|a-b|<4$ y $|b-c|<4$ entonces, $|a-c|<4$ A es transitiva. ¿Puedo demostrarlo directamente con algún contraejemplo como para $a=6$ , $b=3$ y $c=1$ esta relación no es transitiva porque $|6-1|>4$ .

¿Es esto adecuado para probar o refutar cuestiones de relaciones?

Answer 1

Su respuesta es muy acertada. La pregunta es básicamente "si $a$ está cerca de $b$ y $b$ está cerca de $c$ es $a$ cerca de $c$ ?"

La respuesta a esto es claramente "no necesariamente", como usted dice.

Answer 2

Su respuesta es correcta. En general, una relación $A$ es transitiva si para todo $a,b,c$ tenemos $(a,b)\in A$ y $(b,c)\in A$ implica $(a,c)\in A$ . Esto significa que si podemos encontrar un solo ejemplo contrario (como $a=6$ , $b=3$ y $c=1$ ) $A$ no puede ser transitivo.