Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $24$ que no tiene subgrupos normales de orden $3$ . Demostrar que $G$ tiene cuatro subgrupos de orden $6$ .

Question

Pregunta

Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $24$ que no tiene subgrupos normales de orden $3$ . Demostrar que $G$ tiene cuatro subgrupos de orden $6$ .

Intento

Es $24=3\cdot 2^3$ y $n_3\mid 2^3,\ n_3\equiv 1\pmod{3}\Rightarrow n_3=1,4$ , $n_3\not=1$ de la hipótesis. Por lo tanto, $n_3=4$ . Es $n_2\mid 3$ y $n_2\equiv 1\pmod{2}\Rightarrow n_2=1,3$ . Si $n_2=1$ entonces hay un único Sylow normal $2$ -subgrupo $P_2$ [ y tomando el producto con el $4$ Sylow $3$ -tenemos los cuatro subgrupos de orden $6$ necesario. ] {Eso está mal}

Problema : Si $n_2=3$ ¿cómo puedo proceder? EDIT: si $n_2=1 ?$

Answer 1

Sabemos que $n_3=4$ . Consideremos la acción de conjugación de $G$ en los cuatro subgrupos Sylow 3 de $G$ y que $I$ sea la imagen de esta acción. Así que $I$ es un subgrupo de $S_4$ .

Como los subgrupos Sylow son todos conjugados en $G$ la acción es transitiva. Así que $|I|$ es divisible por 4. Además, como ningún subgrupo Sylow puede normalizar a otro, la acción de un subgrupo Sylow 3 $P$ es un punto fijo (es decir $P$ sí mismo), junto con un ciclo de tres. Así que $|I|$ es divisible por 3.

Así que $I$ es un subgrupo de $S_4$ de orden divisible por 12, y debe ser $A_4$ o $S_4$ .

Caso 1 . $I=A_4$ . Así que el núcleo $K$ de la acción tiene orden 2. Dado que $A_4$ no tiene subgrupos de orden $6$ los subgrupos de orden 6 en $G$ debe contener $K$ por lo que son las imágenes inversas de los cuatro subgrupos de orden $3$ en $I$ . Así que hay cuatro subgrupos de este tipo en total, que son cíclicos. (Este es el caso $n_2=1$ .)

Caso 2 . $I=S_4$ Así que $I \cong G$ y, como señaló HallaSurvivor, también hay exactamente cuatro subgrupos de orden 6 (isomorfos a $S_3$ )en este caso. (Este es el caso $n_2=3$ .)

Answer 2

Es un poco complicado, y se basa en algunos conocimientos que tengo, pero aquí hay una solución:

Se sabe que si ningún subgrupo bajo es normal en un grupo de orden $24$ , entonces ese grupo es $\mathfrak{S}_4$ (el grupo simétrico en $4$ letras). Puede ver una prueba de este hecho aquí .

Una vez que se conoce este hecho, entonces se puede ver fácilmente que hay 4 copias de $\mathfrak{S}_3$ viviendo en $\mathfrak{S}_4$ (fijar uno de los $4$ letras), lo que demuestra la afirmación.

Lamentablemente, no conozco una forma "elegante" de conocer este dato sobre $\mathfrak{S}_4$ . Es un teorema que he visto en el pasado, y que casualmente recuerdo. Dejo esto como respuesta, pero también me encantaría ver una solución mejor motivada.

---

Espero que esto ayude ^_^