Prueba de la identidad $(\tan^2(x)+1)(\cos^2(-x)-1)=-\tan^2(x)$

Question

Prueba de la identidad trigonométrica $(\tan{^2x}+1)(\cos{^2(-x)}-1)=-\tan{^2x}$ ha sido todo un reto. Hasta ahora he intentado utilizar simplemente las identidades trigonométricas básicas basadas en el Teorema de Pitágoras. No estoy seguro de si estas identidades básicas son inadecuadas para la situación o si no estoy mirando el ángulo correcto para abordar este problema.

Answer 1

Una pista:

Multiplica los dos miembros por $\cos^2x$ (ciertamente no cero):

$$(\sin^2x+\cos^2x)(\cos^2x-1)=-\sin^2x.$$

Answer 2

Ampliar da $\sin^2x-\tan^2x+\cos^2x-1$ . Los términos no deseados se anulan porque $\sin^2x+\cos^2x=1$ .

Answer 3

Recuerdo:

$$\begin{align} \tan^2(x) - \sec^2(x) &= -1 \\ \sin^2(x) + \cos^2(x) &= 1 \end{align}$$

Así,

$$\begin{align} \tan^2(x) + 1 &= \sec^2(x)\\ \cos^2(x) - 1 &= -\sin^2(x) \end{align}$$

También observamos que $\cos(x)$ es una función par, y por tanto $\cos(-x) = \cos(x)$ . Así, la fórmula se convierte en:

$$(\tan^2(x) + 1)(\cos^2(-x) - 1) = -\sec^2(x)\sin^2(x) = - \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = -\tan^2(x)$$

Answer 4

1. $1+\tan^2x=\sec^2x$
2. $\sin^2x+\cos^2x=1$
3. $\cos x=\cos(-x)$ es decir $\cos x$ es una función par.
4. $\sec x=1/\cos x$

$$\underbrace{\left(1+\tan^2x\right)}_{=\sec^2x}\underbrace{\left(\cos^2(-x)-1\right)}_{\cos x\text{ is even function}}=-\sec^2x\cdot\sin^2x=-\tan^2x $$

Answer 5

Sabemos que

• $(\tan x)' = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ y
• $\cos (-x) = \cos x$

Ahora, se deduce inmediatamente \begin{eqnarray*} (\tan^2(x)+1)(\cos^2(-x)-1) & = & (\tan x)'\left(\frac{1}{(\tan x)'}-1\right) \\ & = & 1 - (\tan x)' \\ & = & 1 - (1 + \tan ^2 x) \\ & = & - \tan ^2 x \\ \end{eqnarray*}