Considere un conjunto $G\subseteq \Bbb R$ y una operación binaria * definida en $\Bbb R$ como $a*b=a+b+ab$ , de tal manera que $(G,*)$ es un grupo abeliano. Determine $G$ .

Question

Mi pregunta difiere de este uno (además, la operación binaria difiere ligeramente). Aquí, se supone que determinar $G$ en lugar de probar un determinado $G$ para ser un grupo abeliano. Sé que para $(G,*)$ para ser un grupo, tiene que satisfacer los siguientes postulados:

1) Cierre, es decir, $a*b\in G$ , $\forall a,b\in G$

2) La asociatividad, es decir, $(a*b)*c=a*(b*c)$ , $\forall a,b,c\in G$

3) Existencia de un elemento de identidad único $e\in G$ tal que $a*e=e*a=a$ , $\forall a\in G$

4) Existencia de elementos inversos, es decir, $\forall a\in G$ , $\exists a^{-1}\in G$ tal que $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$

Empiezo asumiendo $G$ para ser idéntico a $\Bbb R$ porque no tengo ni idea de cómo proceder con un subconjunto arbitrario de $\Bbb R$ cuyos elementos y propiedades son desconocidos. Como la suma y la multiplicación son cerradas en $\Bbb R$ la propiedad de cierre se satisface con $(G,*)$ . $(G,*)$ también es asociativo (como puede demostrarse mediante cálculos triviales). Los cálculos demuestran que $0$ es el elemento de identidad. Hasta aquí todo bien. Ahora para evaluar la existencia de elementos inversos, uso el postulado 4 $$a*a^{-1}=e$$ Esto significa que $$a+a^{-1}+aa^{-1}=0$$ Esta ecuación demuestra que $a^{-1}$ no existe cuando $a=-1$ . Intuitivamente, parece razonable que $G=\Bbb R\backslash \{-1\}$ . Sin embargo, esto requiere comprobar de nuevo la consistencia de los 3 primeros postulados. No estoy seguro de poder confiar en que la suma y la multiplicación sean operaciones cerradas en $\Bbb R$ ya, ahora que uno de los elementos ha sido excluido. Estoy confundido en cuanto a la forma de proceder hacia adelante y buscar orientación para el mismo.

Editar : Aparentemente he pasado por alto el postulado de conmutatividad para los grupos abelianos, pero tal como está creo que probar $(G,*)$ ser un grupo es el principal reto para mí.

Answer 1

Primero hay que determinar qué es $e$ : $e*e=e$ Así que $e+e+e^2=e$ Así que $e^2=-e$ . Por lo tanto, $e=0$ o $e=-1$ . Entonces $e*x=x$ Así que $e+x+ex=x$ o $e+ex=0$ por cada $x\in G$ . Si $e=-1$ entonces el único $x$ es $x=-1$ y así $G=\{-1\}$ . Así que podemos suponer $e=0$ . Entonces, para cada $x\in G$ debería haber $y$ : $x*y=0$ Es decir $x+y+xy=0$ .así que $y=1/(x+1)-1=x/(x+1)$ . Así que con cada $x\in G$ este $y$ debe estar en $G$ también. Finalmente $G$ debe ser asociativo, lo que da algunas restricciones más a $G$ : $$(a*b)*c= (a+b+ab)*c=a+b+ab+c+ac+bc+abc=a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc,$$ por lo que para cada $a,b,c\in G$ : $0=0$ - no hay nuevas restricciones. Por lo tanto, las únicas restricciones de $G$ son

1. O bien $G=\{-1\}$ o $0\in G, -1\not\in G$ ;

2. Por cada $a,b\in G$ , $ab+a+b\in G$ ;

3. Si $0\in G$ entonces para cada $x\in G$ , $x/(x+1)\in G$ .

Por ejemplo $G$ puede ser uno de los siguientes conjuntos

a) $\mathbb{Q}\setminus \{-1\}$ ;

b) $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ ;

c) $\mathbb{Q}_{\ge 0}$

pero también muchos otros subconjuntos de $\mathbb{R}$ (continuamente muchos).