Conjunto vacío en un complejo simplicial

Question

¿Debe considerarse el conjunto vacío como un simplex en un complejo simplicial? ¿Qué justificaciones existen para la respuesta?

Supongo que es algo comparable a $1$ no siendo un número primo.

Answer 1

Un complejo simplicial abstracto es un conjunto $V$ de vértices junto con un conjunto $F$ de caras (a las que parece referirse como símiles) tales que $A\subseteq B$ y $B\in F$ implica $A\in F$ (cerrado bajo inclusión). Por lo tanto, si $F$ no está vacío, entonces también contiene $\emptyset$ como elemento. Significa que el simplex vacío es una cara.

Otras respuestas abordan la cuestión de la existencia de un simplex vacío entendido como complejo simplicial. Eso también existe, es el complejo simplicial con $V=\emptyset$ y $F=\{\emptyset\}$ . En realidad es súper útil. Hay que considerarlo como el $(-1)$ -Esfera de dimensiones, ya que su suspensión es la $0$ -Esfera de dimensiones. Su realización geométrica es el espacio topológico vacío (sin puntos y con el conjunto vacío como único conjunto abierto).

Answer 2

Esta es una construcción útil en la teoría de la homotopía y probablemente se explica más fácilmente como la categoría simplex aumentada .

Answer 3

Creo que la respuesta es sí. Si la intersección de dos símiles en un complejo simplicial es una cara (sub-símbolo) de cada uno, entonces un conjunto vacío debe ser un símplex.