¿Se puede escribir cada función como una derivada total?

Question

Esto está motivado por una pregunta en el SE de Física, pero es una pregunta matemática, no física. Para cada función $G(x, t)$ ¿se puede escribir la función como una derivada total (wrt $t$ ) de alguna otra función $F(x, t)$ ?

Un simple contraejemplo estaría bien; ¡espero que sea más sencillo de entender para un pobre físico! Una prueba o refutación general también estaría bien.

Si fuera más fácil tomar un ejemplo concreto, si $G(x, t)$ es $x^2$ ¿se puede escribir como una derivada total wrt $t$ de alguna función $F(x, t)$ ?

Answer 1

No, no toda función es la derivada de otra función. La diferenciabilidad impone muchas restricciones a las funciones. La que me viene a la mente es que todas las funciones diferenciables son los límites puntuales de las funciones continuas, lo que implica (por el teorema de la categoría de Baire) que deben ser continuas excepto en un conjunto exiguo. Para nuestros propósitos, digamos que el término "escaso" significa lo que intuitivamente significa. Para construir un contraejemplo a partir de esto, toma cualquier función altamente discontinua que te guste y úsala (la mía es la función indicadora de los racionales, que no es continua en ninguna parte). Pensaré en si se me ocurre una caracterización para las condiciones iniciales "agradables".

Answer 2

Tal vez puedas hacer lo siguiente: Basado en tu pregunta y comentarios a la respuesta de Chris parece que quieres asumir que $x = x(t)$ es una función diferenciable de $t$ . A continuación, escriba $g(t) = G(x(t), t)$ una función diferenciable de $t$ . Definir $$F(x,t) = \int_0^t g(s) ds$$ y luego del teorema fundamental del cálculo y el hecho de que $F(x,t)$ no depende de $x$ se obtiene $$\frac{dF}{dt} = g(t) = G(x(t),t) = G(x,t)$$

Answer 3

Esta pregunta necesita ser interpretada: Para las funciones $F,G$ de dos variables y una función $x$ de una variable (esto ya tiene varias interpretaciones que no importan demasiado para esta pregunta; sólo suponemos que son suaves y que los dominios de definición son $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}$ respectivamente) le gustaría tener $$\frac{\partial F}{\partial x}(x(t),t) x'(t) + \frac{\partial F}{\partial t}(x(t),t) = G(x(t),t)$$ para todos $t$ . $G$ se da y $F$ se encuentra, pero la gran pregunta es: ¿es $x$ o debe el mismo $F$ trabajo para todos $x$ ?

En el primer caso es fácil encontrar un $F$ ; sólo deja que $F$ sólo dependen de $t$ e integrar $G(x(t),t)$ (véase la respuesta de los agudos). El segundo caso es más complicado, pero resulta que tal $F$ sólo existe en el caso trivial $\partial G/\partial x=0$ Es decir, $G$ no depende de $x$ .

Answer 4

Cualquier función razonable $G:\ (x,t)\mapsto G(x,t)$ es la derivada con respecto a $t$ de otra función $F:\ (x,t)\mapsto F(x,t)$ . Si $(x_0,t_0)$ es un punto en el dominio de $G$ hay un barrio $U$ de este punto tal que $$F(x,t):=\int_{t_0}^t G(x,t')\ dt'\qquad\bigl((x,t)\in U\bigr)$$ es una función de este tipo.

Otra cosa es que se le dé, explícitamente o mediante alguna condición extra como una ecuación diferencial $\dot x=H(x,t)$ una función $t\mapsto x(t)$ y que está realmente interesado en la función $\phi(t):=G\bigl(x(t),t\bigr)$ . Esta función $t\mapsto\phi(t)$ será entonces la derivada de alguna función $t\mapsto\Phi(t)$ que, por supuesto, dependerá de esta condición adicional. Pero no existe la "derivada total" de una función "desnuda" $(x,t)\mapsto F(x,t)$ con respecto a $t$ .