La función sinc ataca de nuevo

Question

Recall $\text{sinc}(x)=\frac{\sin x}x$ . Es un ejercicio familiar que $\int_0^{\infty}\text{sinc}(x)\,dx=\frac{\pi}2$ .

Pero, en este momento, quiero preguntar sobre la siguiente afirmación sobre un producto "sincero" que se apoya en amplios cálculos numéricos.

Pregunta. ¿Es cierto que $$\int_0^{\infty}dx\prod_{n=1}^{\infty}\text{sinc}\left(\frac{x}{2n-1}\right) =2\int_0^{\infty}dx\prod_{n=1}^{\infty}\cos\left(\frac{x}n\right)\,\,?$$

Answer 1

Podemos empezar con una sustitución $x=2y$ $$\int_0^{\infty}dx\prod_{n=1}^{\infty}\text{sinc}\left(\frac{x}{2n-1}\right)=2\int_0^{\infty}dy\prod_{n=1}^{\infty}\text{sinc}\left(\frac{2y}{2n-1}\right).$$ Ahora la fórmula del doble ángulo $$\text{sinc}(2a)= \text{sinc}\left(a\right)\cos(a)$$ se puede iterar para llegar a la conocida fórmula de $\text{sinc}$ $$\text{sinc}(2a)=\prod_{i=0}^{\infty}\cos\left(\frac{a}{2^i}\right).$$ Esto significa que $$\prod_{n=1}^{\infty}\text{sinc}\left(\frac{2y}{2n-1}\right)=\prod_{m= 1}^{\infty}\cos\left(\frac{y}{m}\right)$$ porque cada $m\in \mathbb N$ puede escribirse de forma única como $2^i(2n-1)$ para algunos $i\geq 0$ y $n\geq 1$ . Y esto, a su vez, demuestra la identidad integral.