Una desigualdad en la definición del producto infinito de la función gamma

Question

Estoy leyendo la sección de "Análisis complejo" de Gamelin sobre la función gamma. Está en la página 362:

No entiendo cómo la desigualdad $\left(1 - \frac{t}{n}\right)^n \leq e^{-t}$ se deriva.

Answer 1

En ESTA RESPUESTA , demostré usando la desigualdad de Bernoulli sólo que $\left(1+\frac xn\right)^n$ aumenta monótonamente para $x>-n$ . Por tanto, dada la definición de límite de la función exponencial, tenemos

$$\left(1+\frac xn\right)^n\le e^{x}$$

para $x>-n$ . Dejar $x=-t$ produce

$$\left(1-\frac tn\right)^n\le e^{-t}$$

para $t<n$ . ¡Y ya está!