¿Cómo tomar las derivadas de una convolución cuando la derivada del núcleo está en el sentido de la distribución?

Question

Vine a tomar la derivada de la siguiente convolución: $$\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sgn}(x-y)e^{-|x-y|}f(y) \, dy$$

Sin embargo, la derivada del núcleo sólo existe en el sentido de las distribuciones, es decir $$-\frac{d}{dx}\operatorname{sgn}(x-y)e^{-|x-y|}=2\delta(x-y)e^{-|x-y|}-e^{-|x-y|}$$

Mi pregunta es: Según esto Correo electrónico: no se pueden tomar directamente las derivadas bajo el signo de la integral. Así que para mi situación aquí, ¿cómo se supone que debo hacer la diferenciación?

Answer 1

SUGERENCIA:

Dividir la integral como $$\int_{-\infty}^{\infty} \text{sgn} (x-y)e^{-|x-y|}f(y) \, dy = \int_{-\infty}^x e^{-(x-y)}f(y)\,dy-\int_x^{\infty} e^{(x-y)}f(y) \, dy$$ y utilizar Regla de Leibnitz para diferenciar bajo una integral .

ALERTA DE SPOILER: DESPLÁCESE POR LA ZONA SOMBREADA PARA VER LA RESPUESTA

$$\begin{align}\frac{d}{dx}\int_{-\infty}^{\infty} \text{sgn} (x-y)e^{-|x-y|}f(y) \, dy&=f(x)-\int_{-\infty}^x e^{-(x-y)}f(y)\,dy+f(x)-\int_x^{\infty} e^{(x-y)}f(y) \, dy\\\\&=2f(x)-\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x-y|}f(y) \, dy\end{align}$$

Answer 2

Dejemos que $g(x) = \operatorname{sgn}(x)e^{-|x|}$ y que $\delta$ sea la "función" delta de Dirac. El problema es encontrar $(g*f)'(x)$ .

$$(g*f)'(x) = \underbrace{(\delta'*(g*f))(x) = ((\delta'*f)*g)(x)} = (f'*g)(x). \tag 1$$

La cosa $\underbrace{\text{in the middle}}$ no tiene sentido fuera del contexto de alguna teoría en la que podamos hablar de $\delta'$ . Pero la igualdad $$(g*f)'(x)=(f'*g)(x) \tag 2$$ tiene sentido, y por tanto puede ser verdadera o falsa, fuera de dicho contexto. Si toda la cadena de igualdades $(1)$ es verdadera en el contexto de Dirac, entonces puede $(2)$ ser falso en el contexto en el que se puede entender sin saber de Dirac?

Aquí diría que estoy oxidado en esas cosas y abriría un libro y me recordaría qué hipótesis son necesarias para que las conclusiones se mantengan y me preguntaría si se satisfacen.

Así es como yo enfocaría inicialmente el problema.