Dejemos que C sea una categoría abeliana. Si P∙∈Ch≥0(C) es un complejo inferior acotado de proyectivos, y C∙∈Ch≥0(C) es un complejo exacto acotado por debajo, entonces [P∙,C∙]=0 . (Todo mapa en cadena P∙→C∙ es nulo-homotópico).
Es tentador conjeturar que
Si B⇉ son funtores de una categoría categoría arbitraria \mathscr{B} , donde F en complejos proyectivos complejos proyectivos, y G aterriza en complejos acíclicos, entonces [F,G]=0 , lo que significa que cualquier transformación natural de F \Rightarrow G es naturalmente cadena homotópica a la transformación natural cero.
El teorema de los modelos acíclicos implica algo similar: que si \mathscr{B} tiene modelos \mathcal{M} y F es un functor libre con respecto a \mathcal{M} y si G es acíclico, entonces [F,G] es efectivamente cero.
¿Es falso el teorema destacado arriba?
Dada una transformación natural, puedo elegir un mapa \tau: (FX)_\bullet \to (GX)_\bullet[1] para cada objeto X \in \mathscr{B} . Hacer \tau natural es el problema. Si intento definir el primer mapa \tau_0 en la transformación natural \tau y comprobar si es natural, encuentro que el diagrama de naturalidad \begin{array}{} FX_0 & \xrightarrow{(Ff)_0} &FY_0\\ (\tau_X)_0 \downarrow && \downarrow (\tau_Y)_0 \\ GX_1 & \xrightarrow{(Gf)_1} & GY_1 \end{array} sólo conmuta hasta un elemento límite en \partial^{GY}(GY_2) .