Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Arrows.js

7 votos

Versión reforzada del teorema de los modelos acíclicos

Dejemos que C sea una categoría abeliana. Si PCh0(C) es un complejo inferior acotado de proyectivos, y CCh0(C) es un complejo exacto acotado por debajo, entonces [P,C]=0 . (Todo mapa en cadena PC es nulo-homotópico).

Es tentador conjeturar que

Si B son funtores de una categoría categoría arbitraria \mathscr{B} , donde F en complejos proyectivos complejos proyectivos, y G aterriza en complejos acíclicos, entonces [F,G]=0 , lo que significa que cualquier transformación natural de F \Rightarrow G es naturalmente cadena homotópica a la transformación natural cero.

El teorema de los modelos acíclicos implica algo similar: que si \mathscr{B} tiene modelos \mathcal{M} y F es un functor libre con respecto a \mathcal{M} y si G es acíclico, entonces [F,G] es efectivamente cero.

¿Es falso el teorema destacado arriba?

Dada una transformación natural, puedo elegir un mapa \tau: (FX)_\bullet \to (GX)_\bullet[1] para cada objeto X \in \mathscr{B} . Hacer \tau natural es el problema. Si intento definir el primer mapa \tau_0 en la transformación natural \tau y comprobar si es natural, encuentro que el diagrama de naturalidad \begin{array}{} FX_0 & \xrightarrow{(Ff)_0} &FY_0\\ (\tau_X)_0 \downarrow && \downarrow (\tau_Y)_0 \\ GX_1 & \xrightarrow{(Gf)_1} & GY_1 \end{array} sólo conmuta hasta un elemento límite en \partial^{GY}(GY_2) .

3voto

Vector_Cat Puntos 18

A mí también me surgió esta pregunta hace poco e hice algunos intentos.

En lo que a mí respecta, la generalización correcta de "libre con base en \mathcal{M} " es " proyectiva con base en \mathcal{M} ".

Definición: Un functor S: \mathcal{C}\longrightarrow Mod_{R} se dice que proyectiva con base en \mathcal{M} si se cumplen las dos condiciones siguientes

  1. T(C) es proyectiva para todo C\in\mathcal{C} .
  2. Hay una T -Modelo de conjunto \chi=\{x_\lambda\in T(M_\lambda)\mid M_\lambda\in \Lambda\} s.t. \{T(g)(x_\lambda)|g\in \hom(M_\lambda,C), \lambda\in \Lambda\} es una base proyectiva para T(C) . es decir Para cada x\in T(C) se puede expresar como x=\sum_{\lambda\in \Lambda}\sum_{g\in \hom(M_\lambda,C)} f_{g,\lambda}^C(x)T(g)(x_\lambda) donde \{f_{q,\lambda}^C: T(C)\longrightarrow R\} es un conjunto fijo de morfismos de R -módulos.

Un functor S_\bullet:\mathcal{C}\longrightarrow Comp_R , donde Comp_R es la categoría del complejo de cadenas de R -se dice que es proyectiva con base en \mathcal{M} si cada S_n es proyectiva con base en \mathcal{M} .

Y podemos plantear una proposición:

Proposición: Supongamos que \mathcal{C} es una categoría con modelos \mathcal{M} . Supongamos que T_\bullet, S_\bullet:\mathcal{C}\longrightarrow Comp_R son dos funtores tales que ambos T_\bullet y S_\bullet son no negativos. Supongamos además T_\bullet es proyectiva con base en \mathcal{M} y S_\bullet es acíclico en grado positivo en cada elemento M\in\mathcal{M} . Supongamos que \Theta: H_0\circ T_\bullet\longrightarrow H_0\circ S_\bullet es una transformación natural. \exists un morfismo de cadena natural \Psi_\bullet:T_\bullet\longrightarrow S_\bullet que es único hasta la homotopía de cadena natural y tiene H_0(\Psi_\bullet)=\Theta .

Y esta proposición parece ser una especialización del Teorema 1 en

Dold A., MacLane S., Oberst U. (1967) Projective classes and acyclic models. En: Reports of the Midwest Category Seminar. Lecture Notes in Mathematics, vol 47. Springer, Berlín, Heidelberg

Espero que eso ayude.

2voto

Michael Barr Puntos 77

El problema es que un objeto de la categoría de funtores [\cal B,\cal C] no tiene por qué ser proyectiva aunque todos los objetos de la imagen lo sean. Creo que lo que se obtendría sería una homotopía débil (homotopía en cada objeto de \cal B ). Para más información sobre este tema, mi libro titulado Acyclic Models (Modelos acíclicos), que trata todas las versiones del teorema que conozco.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X