Versión reforzada del teorema de los modelos acíclicos

Question

Dejemos que $\mathscr{C}$ sea una categoría abeliana. Si $P_\bullet \in \operatorname{Ch}_{\geq 0}(\mathscr{C})$ es un complejo inferior acotado de proyectivos, y $C_\bullet \in \operatorname{Ch}_{\geq 0}(\mathscr{C})$ es un complejo exacto acotado por debajo, entonces $[P_\bullet, C_\bullet] = 0$ . (Todo mapa en cadena $P_\bullet \to C_\bullet$ es nulo-homotópico).

Es tentador conjeturar que

Si $\mathscr{B} \underset{G}{\overset{F}{\rightrightarrows}} \operatorname{Ch}_{\geq 0}(\mathscr{C})$ son funtores de una categoría categoría arbitraria $\mathscr{B}$ , donde $F$ en complejos proyectivos complejos proyectivos, y $G$ aterriza en complejos acíclicos, entonces $[F,G]=0$ , lo que significa que cualquier transformación natural de $F \Rightarrow G$ es naturalmente cadena homotópica a la transformación natural cero.

El teorema de los modelos acíclicos implica algo similar: que si $\mathscr{B}$ tiene modelos $\mathcal{M}$ y $F$ es un functor libre con respecto a $\mathcal{M}$ y si $G$ es acíclico, entonces $[F,G]$ es efectivamente cero.

¿Es falso el teorema destacado arriba?

Dada una transformación natural, puedo elegir un mapa $\tau: (FX)_\bullet \to (GX)_\bullet[1]$ para cada objeto $X \in \mathscr{B}$ . Hacer $\tau$ natural es el problema. Si intento definir el primer mapa $\tau_0$ en la transformación natural $\tau$ y comprobar si es natural, encuentro que el diagrama de naturalidad \begin{array}{} FX_0 & \xrightarrow{(Ff)_0} &FY_0\\ (\tau_X)_0 \downarrow && \downarrow (\tau_Y)_0 \\ GX_1 & \xrightarrow{(Gf)_1} & GY_1 \end{array} sólo conmuta hasta un elemento límite en $\partial^{GY}(GY_2)$ .

Answer 1

A mí también me surgió esta pregunta hace poco e hice algunos intentos.

En lo que a mí respecta, la generalización correcta de "libre con base en $\mathcal{M}$ " es " proyectiva con base en $\mathcal{M}$ ".

Definición: Un functor $S: \mathcal{C}\longrightarrow Mod_{R}$ se dice que proyectiva con base en $\mathcal{M}$ si se cumplen las dos condiciones siguientes

1. $T(C)$ es proyectiva para todo $C\in\mathcal{C}$ .
2. Hay una $T$ -Modelo de conjunto $\chi=\{x_\lambda\in T(M_\lambda)\mid M_\lambda\in \Lambda\}$ s.t. $$ \{T(g)(x_\lambda)|g\in \hom(M_\lambda,C), \lambda\in \Lambda\} $$ es una base proyectiva para $T(C)$ . es decir Para cada $x\in T(C)$ se puede expresar como $$ x=\sum_{\lambda\in \Lambda}\sum_{g\in \hom(M_\lambda,C)} f_{g,\lambda}^C(x)T(g)(x_\lambda) $$ donde $\{f_{q,\lambda}^C: T(C)\longrightarrow R\}$ es un conjunto fijo de morfismos de $R$ -módulos.

Un functor $S_\bullet:\mathcal{C}\longrightarrow Comp_R$ , donde $Comp_R$ es la categoría del complejo de cadenas de $R$ -se dice que es proyectiva con base en $\mathcal{M}$ si cada $S_n$ es proyectiva con base en $\mathcal{M}$ .

Y podemos plantear una proposición:

Proposición: Supongamos que $\mathcal{C}$ es una categoría con modelos $\mathcal{M}$ . Supongamos que $T_\bullet, S_\bullet:\mathcal{C}\longrightarrow Comp_R$ son dos funtores tales que ambos $T_\bullet$ y $S_\bullet$ son no negativos. Supongamos además $T_\bullet$ es proyectiva con base en $\mathcal{M}$ y $S_\bullet$ es acíclico en grado positivo en cada elemento $M\in\mathcal{M}$ . Supongamos que $$ \Theta: H_0\circ T_\bullet\longrightarrow H_0\circ S_\bullet $$ es una transformación natural. $\exists $ un morfismo de cadena natural $\Psi_\bullet:T_\bullet\longrightarrow S_\bullet$ que es único hasta la homotopía de cadena natural y tiene $H_0(\Psi_\bullet)=\Theta$ .

Y esta proposición parece ser una especialización del Teorema 1 en

Dold A., MacLane S., Oberst U. (1967) Projective classes and acyclic models. En: Reports of the Midwest Category Seminar. Lecture Notes in Mathematics, vol 47. Springer, Berlín, Heidelberg

Espero que eso ayude.

Answer 2

El problema es que un objeto de la categoría de funtores $[\cal B,\cal C]$ no tiene por qué ser proyectiva aunque todos los objetos de la imagen lo sean. Creo que lo que se obtendría sería una homotopía débil (homotopía en cada objeto de $\cal B$ ). Para más información sobre este tema, mi libro titulado Acyclic Models (Modelos acíclicos), que trata todas las versiones del teorema que conozco.