¿Por qué se cumple esta desigualdad de potencias para sumas de números reales?

Question

$$\left|\sum_{i=1}^nx_i\right|^p \leq \begin{cases} \sum_{i=1}^n|x_i|^p & p\in(0,1]\\ n^{p-1}\sum_{i=1}^n|x_i|^p & p>1 \end{cases}$$

¿Se puede generalizar para secuencias arbitrarias $\{x_i\}_{i=1}^n$ en los espacios de Hilbert en el caso $p=2$ ?

Answer 1

• Para $p > 1$ , aplicar la desigualdad de Holder a $$\left\lvert \sum_{k=1}^n x_i\right\rvert \leq \sum_{k=1}^n 1\cdot \lvert x_i\rvert \leq n^{1/q} \left(\sum_{k=1}^n \lvert x_i\rvert^p\right)^{1/p} $$ con $q =\frac{p}{p-1}$ es el conjugado de Holder de $p$ . Ahora, levanta ambos lados al poder $p$ para obtener la desigualdad.

• Para $p \in (0,1]$ Esto se desprende del siguiente hecho:

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Lema. Para cualquier secuencia $x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ , $p > 0 \mapsto \lVert{x}\rVert_p$ es no creciente. En particular, para $0 < p \leq q <\infty$ , $$ \left(\sum_i |{x_i}|^q\right)^{1/q} = \lVert{x}\rVert_q \leq \lVert{x}\rVert_p = \left(\sum_i |{x_i}|^p\right)^{1/p}\;. $$ Para ver por qué, se puede demostrar fácilmente que si $\lVert{x}\rVert_p = 1$ entonces $\lVert{x}\rVert_q^q \leq 1$ (delimitando cada término $|{x_i}|^q \leq |{x_i}|^p$ ), y por lo tanto $\lVert{x}\rVert_q \leq 1 = \lVert{x}\rVert_p$ . A continuación, para el caso general, aplique esto a $y = x/\lVert{x}\rVert_p$ que tiene la unidad $\ell_p$ norma, y concluir por la homogeneidad de la norma.

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Por una aplicación de la desigualdad del triángulo y lo anterior, tomando $q=1$ se obtiene $$ \left\lvert\sum_i {x_i}\right\rvert \leq \sum_i \lvert{x_i}\rvert = \lVert{x}\rVert_1 \leq \lVert{x}\rVert_p = \left(\sum_i |{x_i}|^p\right)^{1/p} $$ y basta de nuevo con elevar tanto el LHS como el RHS a la $p$ -a poder de la conclusión.

Answer 2

La primera desigualdad se puede demostrar con inducción si mostramos $$(1+z)^p \leq 1+z^p$$ para $z>1$ y luego dejar que $z=x/y$ .