Funciones de conjunto a conjunto potencia

Question

Si $A$ es un conjunto, entonces supongamos que $f$ es una función injectiva de $A$ a $P(A)$, el conjunto de partes de $A$ y sea $B = \{a \in A | a \notin f(a)\}$. Para los siguientes conjuntos, da ejemplos de al menos tres funciones diferentes de $A$ a $P(A)$ y construye el conjunto $B:

(a) $A = \{-1,0,1\}$

(b) $A = \{1,2,3,\dots\}$

Estoy confundido por la idea de una función de un conjunto a su conjunto de partes. ¿Puedo simplemente decir, por ejemplo:

$f:A \rightarrow P(A)$, $\{-1,\{-1\}\}$ haciendo $B=\{0,1\}$?

Answer 1

Una función de $A$ a $P(A)$ es igual que cualquier otra función: en este caso, el dominio de la función es $A$, y su rango son todos los subconjuntos de $A$. Así que, por ejemplo, una función de $A=\{-1,0,1\}$ a $P(A)$ podría ser $$-1 \mapsto \{-1\},\quad 0\mapsto \{0\},\quad 1\mapsto \{1\},$$ y para esta función $B$ sería vacío, ya que en cada caso $a\in f(a)$. Otro ejemplo podría ser $$-1\mapsto \{-1, 0\},\quad 0\mapsto \emptyset,\quad 1\mapsto \{-1\},$$ y para esta función $B = \{0, 1\}$, ya que para estos elementos de $A$, tenemos $a\notin f(a)$. ¿Puedes continuar a partir de aquí?