¿Cómo puedo contar los ciclos en el sentido de las agujas del reloj y en sentido contrario en una serie de enteros (modulares)?

Question

Estoy trabajando con un proceso de Markov que tiene un diagrama de estados y transiciones como el de la imagen:

Las probabilidades de transición no se enumeran, pero siempre son positivas, aunque no necesariamente iguales. Cuando simule mi sistema, obtendré una secuencia aleatoria de estados como ésta: $$\{1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,5,6,1,2,3,2,1,2,3,4,5,6...\}$$

Digamos que mi estado original es $1$ . Está claro que si empiezo en $1$ Puedo terminar de nuevo en $1$ pero para mis propósitos, cómo Yo sí que me importa.

Estoy modelando un proceso biológico, así que si hago un ciclo $\{1,2,3,4,5,6,1\}$ en el sentido de las agujas del reloj, convierto la energía en una biomolécula, mientras que si voy en sentido contrario: $\{1,6,5,4,3,2,1\}$ yo hago lo contrario. Si sólo voy $\{1,2,3,2,1\}$ No consigo nada.

Dada una larga secuencia de estados, quiero saber el número neto de ciclos en el sentido de las agujas del reloj que hago: $$N_{net} = N_{clockwise} - N_{counterclockwise}$$

¿Alguna idea?

Answer 1

En lugar de pensar que tienes $6$ estados, imagina que tienes infinitos estados y que desde el estado $k$ puede ir a $k+1$ o $k-1$ .

Entonces su estado final es $k \mod 6$ y $N_{net} = \lfloor k/6 \rfloor$ .

EDIT: La fórmula anterior para $N_{net}$ no funciona para $k < 0$ . Si $k < 0$ , $N_{net} = \lceil k/6 \rceil$ .