Diferenciación bajo el signo integral - ¿Dónde está mi error?

Question

Estoy tratando de encontrar

$$\int_0^\infty \sin \left( x^2 \right)\,dx$$

por el método de diferenciación bajo el signo integral. La idea es utilizar la diferenciación con respecto a $t$ en $A(t)$ - definida a continuación - y luego dejar que $t$ acercarse al infinito y tomar la raíz cuadrada para encontrar la integral de Fresnel.

Dejemos que

$$A(t) = \left( \int_0^t \sin(x^2)\,dx \right)^2$$

$$A'(t) = 2\sin(t^2) \int_0^t \sin(x^2)\,dx$$

Dejemos que $x=yt$

$A'(t) = 2\sin(t^2) \int_0^1 \sin(t^2y^2)t\,dy $

$A'(t) = \int_0^1 2t\sin(t^2)\sin(t^2y^2)\,dy $

$A'(t) = \int_0^1 t(\cos(t^2-t^2y^2)-\cos(t^2+t^2y^2))\,dy $

$A'(t) = \int_0^1 t(\cos(t^2(1-y^2))-\cos(t^2(1+y^2)))\,dy $

$A'(t) = \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\sin(t^2(1-y^2))}{1-y^2}-\frac{\sin(t^2(1+y^2))}{y^2+1})\,dy $

$A'(t) = \frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\int_0^1 \frac{\sin(t^2(1-y^2))}{1-y^2}-\frac{\sin(t^2(1+y^2))}{y^2+1} \, dy $

Por el Teorema Fundamental del Cálculo:

$\int A'(t)\,dt + C = A(t)$

Si tomamos el límite como $\lim_{t\to 0}$ :

EDITAR: $\lim_{t\to 0} \int{A'(t)dt} + C = \lim_{t\to 0}A(t)$

$\lim_{t\to 0} \int{A'(t)dt} = 0$ y $\lim_{t\to 0}A(t) = 0$

Así que $0 + C = 0$ y $C=0$

Así, $\int A'(t)\,dt = A(t)$ ,

Pero, si tomamos el límite como $\lim_{t\to \infty}$ :

EDITAR: $\lim_{t\to \infty} \int{A'(t)dt} = \lim_{t\to \infty}A(t)$

No he podido confirmarlo, pero estoy bastante seguro por cálculos numéricos que $\lim_{t\to \infty} \int{A'(t)dt} = 0$ .

Pero sabemos que $\lim_{t\to \infty}A(t)$ debe ser $\pi/8$ .

Y $0\neq \pi/8$ .

Puede que haya cometido un simple error de álgebra o de cálculo, pero no lo he detectado.

Su ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Dejé de leer cuando llegué al primer error. Cuando se pone $x=ty$ , te olvidaste de poner $dx=tdy$ en su integral.

Answer 2

No se puede utilizar $\lim\limits_{t\to\infty}A'(t)=0$ para concluir $\lim\limits_{t\to\infty}A(t)=0$ . De hecho, ocurre algo parecido a lo que ocurre: para cualquier limitar $\lim\limits_{t\to\infty} A(t)=L$ de una bonita función $A$ su existencia implica $\lim_{t\to\infty}A'(t)=0$ , sin importar el límite original $L=\lim\limits_{t\to\infty}A(t)$ es. En efecto, añadiendo una constante a la función $A(t)$ modificará el valor del límite $L=\lim\limits_{t\to\infty}A(t)$ pero no cambiará el hecho de que $\lim\limits_{t\to\infty}A'(t)=0$ .

Tampoco es cierto que analizar el comportamiento de una función $A(t)$ y su derivado $A'(t)$ cerca del valor $t=0$ nos dirá lo que ocurre para $A(t)$ mientras tomamos $t\to\infty$ . Por ejemplo, $A(t)=A'(t)=0$ es completamente posible incluso si $A(t)$ es creciente en el intervalo $(0,\infty)$ . Este es un local-global distinción: lo que sucede localmente no es generalmente lo que sucede globalmente. Hay ciertas excepciones, por ejemplo con una función analítica, pero incluso con funciones analíticas tendríamos que especificar todo de los valores $A(0)$ , $A'(0)$ , $A''(0)$ , $A'''(0)$ , $\cdots$ para forzar cualquier determinación de lo que ocurre con $A(t)$ mientras tomamos $t\to\infty$ .

En particular, supongamos que aceptamos la lógica de que $A(0)=A'(0)=0$ implica $A(t)\to0$ como $t\to\infty$ lo que sabemos que no es cierto si consideramos, por ejemplo, que $A(t)$ aumentando en $(0,\infty)$ . Si definimos la función $A(t)=\int_0^t f(\tau)d\tau$ para cualquier función agradable $f$ para lo cual $\int_0^\infty f(\tau)d\tau$ converge y $f(0)=0$ Esta lógica implicaría que todas y cada una de las integrales $\int_0^\infty f(\tau)d\tau$ (con $f(0)=0$ ) son cero ¡!

Si quiere un ejemplo explícito, considere $f(\tau)=\tau^2e^{-\tau}$ . Entonces $f(0)=0$ y $A(0)=0$ pero $A(t)=\int_0^t \tau^2e^{-\tau}d\tau\to \Gamma(3)=2$ como $t\to\infty$ .

Answer 3

No creo que tu enfoque funcione. Pero si sabes que

$\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt \pi}{2}$ Entonces puedes hacer una integral de contorno

$\int _{c}e^{-z^{2}}dz$ , donde $c$ es la línea $0$ a $r$ , luego en sentido contrario a las agujas del reloj desde $r$ a $re^{i\pi /4}$ y, finalmente, de vuelta a lo largo de la línea de $re^{i\pi /4}$ a $0$ . Este es un contorno cerrado y el integrando es analítico dentro de $c$ por lo que la integral debe ser $0$ . Calculando las integrales a lo largo de los trozos del contorno, dejando $r\rightarrow \infty$ le dará el resultado.