Irreductibilidad de un polinomio si no tiene raíz (Capelli)

Question

Deje $F$ ser un campo de carácter arbitrario, $a\in F$, e $p$ un número primo. Mostrar que $$f(X)=X^p-a$$ is irreducible in $F[X]$ if it has no root in $F$.

Esta respuesta a una pregunta relacionada menciona el resultado es debido a Capelli.

Puedo probar el resultado si $F$ tiene características de las $p$ como sigue. Supongamos $f$ es reducible: $f(X)=g(X)h(X)$ $g(X)$ un factor irreducible de grado $m$, $1\le m<p$. Entonces si $\alpha$ es una raíz de $g$ en algunos extensión de campo $K$$F$, tenemos $$f(X)=X^p-\alpha^p=(X-\alpha)^p$$ por lo que su divisor $g(X)$ debe ser de la forma $(X-\alpha)^m$. Dado que el coeficiente de $X^{m-1}$$g$$F$,$m\alpha\in F$. Por lo $\alpha\in F$ porque $m$ es invertible modulo $p$.

¿Cómo le mostrará el resultado en otras características?

Answer 1

Supongamos que la característica de $F$ no $p$. Deje $\Omega$ ser el algebraicas cierre de $F$. Por la hipótesis sobre el carácter de $F$, $\Omega$ tiene una primitiva $p$-ésima raíz de la unidad $\zeta$. Deje $\alpha$ ser una raíz de $x^p - a$$\Omega$. Desde $\alpha$ no está contenida en $F$, $\alpha \neq 0$. Por lo tanto $\alpha, \alpha\zeta, \cdots, \alpha\zeta^{p-1}$ son distintas raíces de $x^p - a$. Supongamos $x^p - a = g(x)h(x)$ donde $g(x)$ $h(x)$ son monic polinomios en $F[x]$ $1 \le$ gr $g(x) \lt p$. Deje $k =$ gr $g(x)$. Deje $b$ ser el término constante de $g(x)$. A continuación, $b = (-1)^k \alpha^k \zeta^m$ donde $m$ es un número entero. Por lo tanto $b^p = (-1)^{kp} a^k$ Si $(-1)^{kp} = 1$, luego deje $c = b$. Supongamos $(-1)^{kp} = -1$. Si $p$ es impar, entonces vamos a $c = -b$. Si $p = 2$, luego deje $c = b$. En cualquier caso, $c^p = a^k$.

Deje $\Gamma$ ser el grupo multiplicativo de a $F$. Deje $\Gamma^p = \{x^p |\ x \in \Gamma\}$. $\Gamma^p$ es un subgrupo de $\Gamma$. Deje $\pi$ ser la canónica homomorophism $\Gamma \rightarrow \Gamma/\Gamma^p$. Deje $\beta = \pi(a)$. Desde $x^p - a$ no tiene una raíz en $F$, $\beta \neq 1$. Por otro lado, $\beta^p = \pi(a^p) = 1$. Por lo tanto el orden de $\beta$$p$. Sin embargo, desde $c^p = a^k$, $\beta^k = 1$. Esta es una contradicción. Por lo tanto $x^p - a$ es irreducible en a $F[x]$.

Answer 2

1) te puedo dar los detalles de un documento por parte de Chebotarev traducido del ruso al alemán en el que aparece la Capelli Lema, sin embargo,

2) también Hay un papel en italiano por Capelli, a partir de 1904, que los detalles que puedo dar, pero

3) El libro "Algebra I", por Rédei, tiene el mismo lema con extensiones. Por desgracia, el libro fue escrito en húngaro, aunque parece ser que hay una traducción al alemán, con, tal vez, la ayuda de Halmös.

Googleando un poco, hay varias referencias a ese lema, pero, hasta donde yo podía ver, ninguno de los primeros, al menos, trae la versión que desee.