Cuestión de recuento de probabilidades combinatoria

Question

Debes elegir 9 cursos de una lista de 20 clases. Al menos un curso tiene que ser una clase de matemáticas, y 5 de las 20 clases son clases de matemáticas. ¿Cuántas combinaciones posibles de 9 clases puede tomar el estudiante? Pensaba que la respuesta era (5 elige 1) x (19 elige 8). ¿Por qué no?

Answer 1

Hay $\binom{20}{9}$ posibilidades si no hay restricciones. Bajo la restricción de que no clase de matemáticas se elige hay $\binom{15}{9}$ posibilidades. En consecuencia, hay $\binom{20}{9}-\binom{15}{9}$ posibilidades bajo la restricción de que al menos uno se elige la clase de matemáticas.

Answer 2

Suma lo siguiente:

• Número de combinaciones con exactamente $1$ curso de matemáticas: $\dbinom{5}{1}\cdot\dbinom{15}{8}$

• Número de combinaciones con exactamente $2$ cursos de matemáticas: $\dbinom{5}{2}\cdot\dbinom{15}{7}$

• Número de combinaciones con exactamente $3$ cursos de matemáticas: $\dbinom{5}{3}\cdot\dbinom{15}{6}$

• Número de combinaciones con exactamente $4$ cursos de matemáticas: $\dbinom{5}{4}\cdot\dbinom{15}{5}$

• Número de combinaciones con exactamente $5$ cursos de matemáticas: $\dbinom{5}{5}\cdot\dbinom{15}{4}$

El resultado es $32175+64350+50050+15015+1365=162955$ .