Problema de la secuencia de funciones

Question

Definir $$ f_n(x)= \begin{cases} 1-nx, &x\in [0,1/n],\\ 0, &x\in [1/n,1] \end{cases} $$

Entonces, ¿cuál de las siguientes opciones es correcta?

1. $\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ define una función continua sobre $[0,1]$ .
2. $\{f_n\}$ converge uniformemente en $[0,1]$ .
3. $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$ para todos $x\in [0,1]$ .
4. $\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ existe para todos los $x\in[0,1]$ .

Estoy completamente atascado en él. Por favor, ayude a alguien.

Answer 1

Creo que sólo la 4. es correcta. Esto se puede demostrar eligiendo cualquier $x \in [0,1]$ . Si $x=0$ entonces $f_n(0)=1$ para todos $n$ . Si $x>0$ entonces para todos $n > \frac{1}{x}$ f_n(x)=0$. Este es uno de los ejemplos estándar sobre la convergencia puntual pero no uniforme, y probablemente se trate en la mayoría de los cursos de análisis...