Encontrar si la secuencia es divergente

Question

Aquí hay una secuencia interesante:

$a_{n}=\sum_{k=0}^n \frac{1}{n+k}$

Y mi tarea es encontrar si tiene un $\lim$ como $n\rightarrow\infty$ o no. Mi primera estrategia fue analizar esta secuencia. Así que puede demostrar que esta secuencia es decreciente (descubriendo que $a_{n+1}=a_{n}-\frac{1}{n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}$ y este término que está restando de $a_{n}$ debe ser menor que cero), y se puede ver claramente que siempre es positivo (por lo que no puede ser divergente a $\infty$ ni $-\infty$ ). Así que, intuitivamente, esto tiene algo de $\lim$ pero aún no puedo demostrarlo formalmente. (Mi tarea no consiste en encontrar el $\lim$ sino decir si existe o no).

Así que traté de encontrar el $\lim$ y mi intuición me dijo que usara el Teorema del Apretón para demostrarlo. Pero no estoy seguro de que sea una buena idea porque después de una hora todavía no he encontrado nada que me ayude a avanzar.

Así que, habiendo demostrado que $a_{n}>0$ y $a_{n}$ es decreciente ¿qué debo hacer para demostrar que el límite existe (o demostrar que no existe)?

Answer 1

$$\sum_{k=0}^n\frac1{n+k}=\frac1n\sum_{k=0}^n\frac1{1+\frac kn}\xrightarrow[n\to\infty]{}\int\limits_0^1\frac{dx}{1+x}$$

De otra manera:

$$\frac1n+\frac1{n+1}+\ldots+\frac1{2n}\le \frac1n+\frac1n+\ldots+\frac1n= \frac nn=1$$

y como la secuencia es claramente ascendente monótona, converge.

Answer 2

Pistas:

Una secuencia decreciente con golpe acotado es siempre convergente. (También una secuencia creciente con sup acotado es siempre convergente.