Suma de $n=1$ a $N$ de $\sin(nx)/2^n$

Question

La pregunta dice:

No estoy seguro de qué hacer aquí. He utilizado la suma geométrica para hacer $2^{-n}$ pero no se me ocurre una forma de sumar $\sin(n\theta)$ para obtener el RHS requerido.

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Mis disculpas por haber sido lento o por haberme perdido algo obvio aquí... No sé cómo ponerlo en forma requerida.

Answer 1

La solución que se presenta a continuación es sólo para dar una prueba básica sin utilizar la identidad de Euler. \begin{align*} &\quad \sum_{n=1}^N \frac{\sin(n\theta)}{2^n} \cdot 2^N(5-4\cos\theta) \\ &= \left( \sum_{n=1}^{N} 2^{n-1}\sin(N-n+1)\theta \right)(1+4-4\cos \theta) \\ &= \left( \sum_{n=1}^{N} 2^{n-1}\sin(N-n+1)\theta \right) + \left( \sum_{n=1}^{N} 2^{n+1}\sin(N-n+1)\theta \right) \\ &\quad - \left( \sum_{n=1}^{N} 2^{n+1}\sin(N-n+1)\theta\cos\theta \right) \\ &= \left( \sum_{n=1}^{N} 2^{n-1}\sin(N-n+1)\theta \right) + \left( \sum_{n=1}^{N} 2^{n+1}\sin(N-n+1)\theta \right) \\ &\quad - \left( \sum_{n=1}^N 2^n [\sin(N-n+2)\theta + \sin(N-n)\theta] \right) \\ &= \left[ 2^{N-1}\sin\theta + \sum_{n=2}^{N-1}2^{n-1}\sin(N-n+1)\theta + \sin(N\theta) \right] \\ &\quad + \left[ 2^{N+1}\sin\theta + \sum_{n=2}^{N-1}2^{n+1}\sin(N-n+1)\theta + 2^2\sin(N\theta) \right] \\ &\quad - \left[ 2\sin(N+1)\theta + 2^2\sin(N\theta) + \sum_{n=2}^{N-1}2^{n+1}\sin(N-n+1)\theta + \sum_{n=2}^{N-1}2^{n-1}\sin(N-n+1)\theta + 2^{N-1}\sin\theta \right] \\ &= 2^{N+1}\sin\theta + \sin(N\theta) - 2\sin((N+1)\theta). \end{align*} Pero sí que me paso casi media hora para escribirlo, jajaja.

Answer 2

SUGERENCIA:

La identidad de Euler dice: $$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

$\implies\dfrac{\sin n\theta}{2^n}=$ parte imaginaria de $\left(\dfrac{e^{i\theta}}2\right)^n$

Answer 3

$$e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),$$ Sin embargo, $$e^{-inx}=\cos(nx)-i\sin(nx)$$

por lo que podemos deducir que $$\sin(x)=\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}.$$

Esto es molesto, pero hará el trabajo. Ver Núcleo de Dirichlet que utiliza un método similar, y está algo relacionado (al menos sabes que no es un cálculo sin sentido).

La pista pretendía sugerir que querías algo de la forma $a\cdot r^n,$ y en este caso, estás sumando sobre la suma de dos series de potencias:

$$\sum_{n=1}^{N}\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2^{n+1}i}.$$

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Editar:

\begin{align*}\sum_{n=1}^{N}\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2^{n+1}i}&=\sum_{n=1}^{N}\frac{e^{inx}}{2^{n+1}i}-\sum_{n=1}^{N}\frac{e^{-inx}}{2^{n+1}i}\\ &=\frac{1}{2i}\left( \sum_{n=1}^{N}\frac{e^{inx}}{2^n}-\sum_{n=1}^{N}\frac{e^{-inx}}{2^{n}}\right)\\ &=\frac{1}{2i}\left( \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{e^{ix}}{2}\right)^n-\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{e^{-ix}}{2}\right)^n\right) \end{align*} ' Usa la pista, junto con mi comentario. Fíjate en lo que dice " $r$ ", y ver si puedes terminar el problema.