En el espacio euclidiano normal con el $L_2$ métrica, el camino más corto entre dos puntos es una línea recta y única. Sin embargo, en la métrica taxi-cabina ( $L_1$ ), entre dos puntos cualesquiera que no se encuentran en la misma línea vertical u horizontal, hay un número infinito de caminos más cortos entre todos con la misma distancia de recorrido.
¿Existe un nombre y/o una forma de determinar si una métrica dada tiene caminos más cortos únicos?
Podría interesarle las variedades riemannianas $(M,d)$ que son variedades que vienen acompañadas de una métrica inducida por $d$ .
Esta métrica ayuda entonces a encontrar los caminos más cortos (localmente) entre los puntos de esas variedades. Estos caminos se denominan geodésicos y son soluciones de las ecuaciones de la EDO. En los espacios euclidianos (planos), son simplemente líneas rectas, pero, por ejemplo, en una esfera, vienen dadas por los grandes círculos.
En otras palabras, si puedes dar a tu objeto una estructura de colector suave, puedes encontrar caminos más cortos únicos. Espero que esto te ayude.
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